Nulstellenbestimmung- Grad der Nullstelle?

... komplette Frage anzeigen

5 Antworten

f(x) = x ^ 3 + 2 * x

x ^ 3 + 2 * x = 0

Ein x kannst du ausklammern -->

x * (x ^ 2 + 2) = 0

Merksatz --> Ein Produkt hat dann den Wert Null, wenn eines seiner Faktoren den Wert Null hat.

Es gibt hier 2 Faktoren,

einmal x

und einmal (x ^ 2 + 2)

x wird Null wenn x = 0 ist, damit hast du deine 1-te Nullstelle schon mal gefunden, nämlich x _ 1 = 0

Nun muss man x ^ 2 + 2 noch auf Nullstellen untersuchen.

x ^ 2 + 2 = 0 | - 2

x ^ 2 = - 2 | √(...)

x _ 2 = - i * √(2)

x _ 3 = i * √(2)

i ist die imaginäre Einheit.

Aufgrund des Zusammenhangs mit den Linearfaktoren gilt -->

f(x) = x ^ 3 + 2 * x = x * (x + i * √(2)) * (x - i * √(2))

Aus der 3-ten binomischen Formel und der Tatsache, dass i ^ 2 = -1 ist, ergibt sich daraus -->

f(x) = x ^ 3 + 2 * x = x * (x ^ 2 + 2)

Das ist das was man schon erkannt hatte.

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung
Kommentar von DepravedGirl
28.02.2016, 16:35

Vielen Dank für den Stern :-)) !

0

Wie bist du denn auf √2 gekommen? Das müssen wir doch mal klären, damit es dir nicht wieder passiert!

x³ + 2x       = 0    | Ausklammern von x
x * (x² + 2) = 0    | Nullproduktregel (beide Faktoren können 0 sein)

x = 0                        das ergibt eine Nullstelle bei 0
x² + 2 = 0    | -2
x²       = -2                das ist unmöglich, weil alle Quadrate positiv sind

Doppelte Nullstelle 

Wenn du eine Funktion hast, die so aussieht:
f(x) = 2x³ - x² 

wäre die Nullstellengleichung      2x³ - x²    = 0
                                                    x² (2x - 1) = 0

Dann würden aus x² zwei zusammenfallenden Nullstellen kommen.
Die 0 wäre also doppelt da, und die Kurve berührt die x-Achse nur.
Man kann sich das so vorstellen, dass zu jedem Zweig eine 0 gehört, und die fallen eben zusammen auf einen Punkt.

Die andere Möglichkeit ist schwerer zu erkennen.
Wenn beim Ausklammern ein volles Quadrat herauskommt, gibt es auch eine doppelte Nullstelle. Zum Beispiel heiße ein Faktor:

(4x² + 4x + 1)
Das ist ein volles Quadrat: (2x + 1)² ,
und es gilt das Gleiche wie bei x².

Erkennen kann man es, wenn man Binomische Regeln rückwärts kann:

http://dieter-online.de.tl/Binomische-Regeln-r.ue.ckw.ae.rts.htm

Wenn nicht, merkst du es wahrscheinlich erst beim Zeichnen.

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung

Wurzel 2 und - Wurzel 2 sind keine Nullstellen der Funktion. Es gibt aber zwei weitere, komplexe Nullstellen. Bei einer Funktion dritten Grades und drei verschiedenen Nullstellen kann keine davon doppelt sein.  

Doppelte Nullstellen erkennt man am ehesten daran, dass die die x-Achse nicht schneiden sondern nur berühren.

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung

Wenn die Ableitung auch eine Nullstelle hat, ist es eine doppelte Nullstelle. Du leitest also ab und setzt die 3 Zahlen ein. 

P.S. Die Funktion hat keine Doppelten Nullstellen.

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung

Die Funktion hat nur x=0 als Nullstelle, das ist außerdem keine doppelte.

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung

Was möchtest Du wissen?