Nullstellenmenge

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2 Antworten

Du hast zwei stetige Funktionen von R³ -> R

f(x,y,z) = x^2+y^2+z^2-4

und

g(x,y,z) = x+sin(y)-2z-1

Die Nullstellenmenge von f ist die Menge aller Tripel (x,y,z) aus R³ mit

f(x,y,z) = 0, was nix anderes ist als

{(x,y,z,) | x^2+y^2+z^2-4=0} = M1.

Das kann ich auch schreiben als

M1 = {(x,y,z,) | x^2+y^2+z^2=4}.

Genauso für g: M2 ist die Nullstellenmenge der Funktion g.

Und M ist offenbar der Durchschnitt von M1 und M2. Und da der Durchschnitt zweier abgeschlossener Mengen abgeschlossen ist, ist der Beweis erbracht.

Hmm ok. Gibt es dazu auch Gegenbeispiele? Im Moment sieht es für mich so aus, als ob man jede Menge als Nullstellenmenge darstellen könnte.

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@Splash1897

Ja. Sicher. Aber du kannst nicht jede Menge als Nullstellenmenge einer stetigen Funktion darstellen. Der Witz ist die Bedingung "stetig". Versuch mal eine stetige Funktion

f: R -> R, x-> f(x) zu finden,

deren Nullstellenmenge das offene Intervall (0,1) ist.

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@FataMorgana2010

Kannst Du dir ja leicht überlegen, warum das nicht geht: wenn für alle x aus (0,1) gilt, dass f(x)= 0 gilt, aber f(1) nicht Null ist, hast du an dieser Stelle eine Sprungstelle: also ist f nicht stetig.

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@FataMorgana2010

ah ok. Das heisst ich muss die Funktionen auf Ihre Stetigkeit im angegebene Intervall untersuchen um zu entscheiden ob sie abgeschlossen sind oder nicht. Aber das eine Funktion auf dem Intervall I nicht stetig ist, bedeutet bloss, dass sie nicht abgeschlossen sein kann. Es bedeutet aber nicht, dass sie keine Nullstellenmenge hat.

Sehr verwirrend diese ganzen topologischen Begriffe :) Danke dir für deine Hilfe!

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@Splash1897

Nur zur Ergänzung: Jede reellwertige Funktion hat immer eine Nullstellenmenge. Die kann aber auch die leere Menge sein. Ansonsten genau so: wenn du eine Menge so darstellen kannst, dass sie die Nullstellenmenge einer stetigen Funktion ist, dann hast du die Abgeschlossenheit gezeigt.

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Weil sie jeweils für mindestens einen Wertetripel (x,y,z) gleich null sind.

Für irgendein Wertetripel? also nicht für (x,y,z)=(0,0,0)?

(edit: was ja bei M2 gar nicht stimmen würde)

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@Splash1897

ah dann wäre also beispielsweise M3={(x,y,z) |x^2+y^2+z^2=-4} keine Nullstellenmenge?

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@Splash1897

Doch. Es gibt zwar in R³ kein Tripel, für das diese Gleichung erfüllt wird, aber dann ist M3 eben die leere Menge und man kann sagen, dass die Nullstellenmenge der Funktion

h: R³-> R, h(x,y,z) = x² + y² + z³ + 4

die leere Menge ist. Allgemein: Die Nullstellenmenge einer Funktion

f: A-> B, x -> f(x);

ist die Menge aller x aus A mit f(x) = 0.

Hier also:

Die Menge aller (x,y,z) aus R³ mit h(x,y,z) = x² + y² + z³ + 4 = 0.

Eine Nullstellenmenge kann durchaus auch leer sein!

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