Nullstellenberechnung von √(a²)+2x³-4ax?

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5 Antworten

Hallo,

2x³-4ax+a=0

Nach Division durch 2:

x³-2ax+a/2=0

Das läßt sich mit Hilfe der reduzierten Form der Cardanischen Formel lösen.

Muster:

x³+px+q=0

Hier:

p=-2a

q=a/2

Zunächst die Diskriminante D=(p/3)³+(q/2)² berechnen:

D=-8a³/27+a²/16

Ab a>0,2109375 ist D immer negativ und es gibt drei reelle Lösungen, die sich nach folgendem Schema berechnen lassen:

Zunächst berechnest Du einen Winkel Phi.

Es gilt:

cos (Phi)=-q/(2√(|p|/3)³)

x1=2√(|p|/3)*cos (Phi/3)
x2=2√(|p|/3)*cos (Phi/3+120°)x3=2√(|p|/3)*cos (Phi/3+240°)

Herzliche Grüße,

Willy

Tipp für alle in vergleichbaren Situationen:
Wir verstehen uns alle viel besser, wenn denn die Gleichung die Wurzel nur über a² hat (welcher Nonsens an und für sich!), dass man es so schreibt:

2x³ - 4ax + √a²  = 0

Der Editor von GF ist nicht euer Schulheft.
Hier müssen Doppeldeutigkeiten vermieden werden!

geht die Wurzel über den ganzen Term?

DerHentaiPeter 23.09.2017, 22:55

Nein nur über a²

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DerHentaiPeter 23.09.2017, 23:05
@Ellejolka

Ich wollte eine Nullstellenberechnung bei (a²)+2x³-4ax durchführen, ich verzweifle aber daran. Mein Problem ist, dass aus der Wurzel von a² sowohl ein negatives als auch ein positives Ergebniss rauskommt. Oder Ignoriert man das negative einfach?

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Zwieferl 25.09.2017, 16:10
@Aurel8317648

Ja! Die Wurzel ist per Definition eine positive Zahl!

Beispiel:

  • x  = √4 ⇒ x=2 .... nur eine Lösung!
  • x² = 4 ⇒ x₁=2 v x₂=-2
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Kleiner Tipp:

√(a²) = │a│  für alle reellen a

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