Nullstellen von der Funktion f(x)=(x°+2)(x-2)° °=hoch 2! Diese Funktion hat doch eine einfache Nullstelle (x°+2) und eine doppelte (x-2)° oder.?

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7 Antworten

Satz vom Nullprodukt anwenden . c=a*b ergibt c=0 wenn a=0 oder b=0 oder beide a=0 und b=0

(x-2)^2 ergibt 0=x-2 also ist x=2

(x-2)^2= x^2 - 2*2*x+2^2=x^2 - 4 * x + 4 mit p=-4 und q=4

Determinante D=(p/2)^2 - q=(4/2)^2 - 4=0 sind 2 gleiche "reelle Nullsstellen"

siehe Mathe-Formelbuch "Quadratische Gleichung" ,"Lösbarkeitsregeln"

(x^2+2) hat die Form f(x)= a *x^2 + 2 mit a>0 Parabel nach oben offen, Minimum vorhanden.

c=2 nach oben verschoben also keine Schnittpunkte mit der x-Achse

0=x^2 + 2 ergibt x1,2= +/- Wurzel ( - 2) sind 2 konjugiert komplexe Lösungen

Wurzel(2)=+/-1,414..

z1= 0 + i 1,414... und z2= 0- i 1,414.. siehe Mathe-Formelbuch "komplexe Zahlen".

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Es stimmt, dass (x-2)² eine doppelte Nullstelle impliziert (nämlich x=2). Aber betrachtet man x²+2=0, so stellt man fest, dass man hier gar keine (reelle) Nullstelle hat.

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Kommentar von Meeresblume
16.01.2017, 08:56

Hat man dann nun eine einfache oder eine doppelte?

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Kommentar von Schilduin
16.01.2017, 08:58

Eine doppelte.

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f(x) = (x² + 2) * (x - 2)²

Vereinfachen.

f(x) = (x² + 2) * (x² - 4x + 4)

f(x) = (x^4 - 4x^3 + 4x^2 + 2x^2 - 8x + 8)

f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 8x + 8

Von dieser Funktion sollen die Nullstellen bestimmt werden.

(Ich spare mir mal Polynomdivision)

Der Taschenrechner liefert:

x1 = 2

Darauf hätte man auch selber kommen können.

Wir haben 2 Faktoren im Funktionsausdruck. Wenn einer dieser Faktoren null wird, wird die gesamte Funktion zu null und wir haben eine Nullstelle.

(x - 2)²

Einfach abzulesen. x1 = 0

(x² + 2) = 0

Hier müsste x² = -2 sein, damit hier null raus kommt. Folglich wäre x die Wurzel von minus zwei. Also... JA! Hier sind noch zwei weitere Lösungen möglich. Allerdings liegen beide im komplexen Zahlenbereich, da Wurzeln von negativen Zahlen im reellen Zahlenbereich nicht definiert sind.

Diese weiteren Lösungen wären:

x2 = (√2) * i

x3 = -(√2) * i

Wenn du nun keine Ahnung hast, wovon ich spreche, dann belass es dabei.

Die Funktion hat EINE Nullstelle bei x = 2.

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Kommentar von Neweage
16.01.2017, 11:45

Warum bastelst du die Funktion wieder zusammen, wenn sie schon in ihre Linearfaktoren zerlegt ist? Man kann die Nullstellen in dieser Form doch sehr viel einfacher bestimmen.

Und du hast einen Fehler gemacht. Erst sagst du, das x1=2 ist, weiter unten ist x1 dann auf einmal =0...

Dazu kommt, dass bei 2 eine doppelte Nullstelle vorliegt, da (x-2)^2 = (x-2)(x-2) ist.

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Schilduin das heißt ich habe 2 doppelte Nullstellen?

Wen also ein x° in der Klammer ist, ist es ebenfalls eine doppelte Nullstelle?

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Nein.

x² + 2 hat keine einfache Nullstelle. Rechne doch mal aus: x² + 2 = 0   Wie groß ist x?

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Kommentar von Meeresblume
16.01.2017, 08:58

Es muss ja eine Nullstelle geben. Die Frage ist ja nur einfach oder doppelt.

Hinter einer Klammer ist es jedoch hoch 1 somit wäre dies eine einfache. Mich stört jedoh die hoch 2 in der klammer

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Die Funktion hat eine reelle Nullstelle und zwei imaginäre.

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Kommentar von Meeresblume
16.01.2017, 09:12

Mir ist egal ob reelle oder nicht ;) das haben wir noch nicht durchgenommen

Ich hab also 2 doppelte Nullstellen, das x° in der Klammer ist auch eine doppelte Nullstelle.

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Ich empfehle dir die App "Photomath".

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