Nullstellen einer nicht-allgemeiner Sinusfunktion?

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4 Antworten

Wie ja schon gezeigt wurde, musst Du für sin(3x+5)=-0,5 die passenden x-Werte finden. Stellst Du den Taschenrechner auf Grad, dann erhältst Du arcsin(0,5)=-30°, d. h. im Einheitskreis wären das die Winkel 360°-30°=330° und passend 180°+30°=210°. 30° entsprechen π/6, also sind 210°=7/6π und 330°=11/6π. Das heißt nun, dass Du diese Werte mit 3x+5 gleichsetzen und x ermitteln musst. Weitere mögliche Lösungen erhältst Du, wenn Du zu 7/6π und 11/6π  12/6π hinzuaddierst/abziehst, bis die ermittelten x-Werte außerhalb des gewünschten Intervalls liegen; so wirst Du an alle Nullstellen kommen...

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Kommentar von Rhenane
01.03.2017, 09:54

hab kleinen Tippfehler drin: es muss natürlich arcsin(-0,5)=-30° heißen...

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4 * sin(3 * x + 5) + 2 = 0 | : 4

sin(3 * x + 5) + (1 / 2) = 0

Das kannst du verallgemeinern -->

sin(a) + b = 0

Nun gibt es einen kleinen Trick -->

sin(a) - sin(a) = 0

Also muss b = - sin(a) sein.

Wenn also (1 / 2) = - sin(a) ist, dann muss a = arcsin(- 1 / 2) = -0.523598775 sein.

Da wir 3 * x + 5 durch a setzt haben und a = -0.523598775 ist, deshalb muss gelten -->

3 * x + 5 = -0.523598775 | -5

3 * x = -5.23598775 | : 3

x = -1.841199592

Das ist jetzt zwar eine gesuchte Nullstelle !, aber sie liegt außerhalb deines Intervalls.

Jetzt muss man aber wissen, dass die Sinusfunktion eine Periode von 2 * pi hat, mit der sich die Werte identisch wiederholen.

Also muss die nächste Nullstelle so zu bestimmen sein -->

3 * x + 5 = -0.523598775 + 2 * pi

3 * x + 5 = 5.759586532 | -5

3 * x = 0.759586532 | : 3

x = 0.25319551

Das ist wieder eine Nullstelle und sie liegt in deinem Intervall !!

Nun macht man das gleiche Schema nochmal -->

3 * x + 5 = 5.759586532 + 2 * pi

3 * x + 5 = 12.04277184 | -5

3 * x = 7.04277184 | : 3

x = 2.347590613

Das ist die nächste Nullstelle, die in deinem Intervall liegt.

Und nun das gleiche nochmal -->

3 * x + 5 = 12.04277184 + 2 * pi

3 * x + 5 = 18.32595715 | - 5

3 * x = 13.32595715 | : 3

x = 4.441985716

Das ist wieder eine Nullstelle in deinem Intervall.

Erneut -->

3 * x + 5 = 18.32595715 + 2 * pi

3 * x + 5 = 24.60914246 | -5

3 * x = 19.60914246 | : 3

x = 6.536380819

Diese Nullstelle liegt außerhalb deines Intervalls !

Also hast du jetzt die Nullstellen -->

x = 0.25319551

x = 2.347590613

x = 4.441985716

Wenn es da noch eine drastisch einfachere Methode gibt, dann kenne ich sie nicht, sorry.

Traurigerweise sind das aber nicht alle Nullstellen, die die Funktion in deinem Intervall hat, ich habe nur 3 Nullstellen gefunden, aber deine Funktion hat 6 Nullstellen in deinem Intervall, wie man auf die anderen 3 Nullstellen kommt weiß ich im Moment leider nicht, sorry, tut mir Leid.

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Die Nullstellen bestimmst mit f(x) = 0.

Setze also den Term gleich null und löse ihn:

4 • sin(3 x + 5) + 2 = 0

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Einfach gleich 0 setzen und lösen.

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