Nullstellen einer Funktion dritten Grades bestimmen, die ein Absolutglied hat?

5 Antworten

Hallo,

es gibt ein Lösungsverfahren für x³+ax²+bx+c=0, nämlich die Formel von Cardano.

Wenn vor dem x³ irgendein Faktor (außer 1 oder 0) steht, teilst Du zunächst die ganze Gleichung durch diesen Faktor, damit Du eine Gleichung in der benötigten Form erhältst. Das ist wie bei der pq-Formel, bei der vorn in der Gleichung auch nur x² stehen darf und nicht -x² oder 3x² oder so etwas.

Nun bestimmst Du aus a, b und c die Werte p und q.

Dabei gilt:

p=(3b-a²)/3
q=2a³/27-ab/3+c

Wenn Du p und q hast, bestimmst Du aus ihnen die Determinante D:

D=p³/27+q²/4

Nehmen wir als Beispiel die Gleichung x³-x²-4x+4=0

a=-1, b=-4, c=4

p=[3*(-4)-(-1)²]/3=-13/3

q=[2*(-1)³]/27-[(-1)*(-4)]/3+4=70/27

D=[(-13/3)³]/27+[(70/27)²]/4=-4/3

Mit der Diskriminante verhält es sich so:

Ist sie >0, hat die Gleichung eine reelle und zwei konjugiert komplexe Lösungen.

Ist sie =0, hat sie drei reelle Lösungen, davon eine doppelte.

Ist sie <0 wie hier, gibt es drei reelle Lösungen.

Im Fall D> oder =0 geht es so weiter:

Du bestimmst zwei Werte u und v, wobei

u=³√(-q/2+√D)
v=³√(-q/2-√D)

Die drei Lösungen x1; x2 und x3 lauten dann so:

x1=u+v-a/3
x2;3=-(u+v)/2-a/3±(u-v)/2*i*√3 (i ist die imaginäre Einheit einer komplexen Zahl; i²=-1).
Im Falle D=0 ist u=v und die imaginären Anteile fallen weg.

Hier aber ist D <0, daher geht es über die Trigonometrie weiter.

Wir bestimmen einen Winkel phi nach folgender Formel (Rechner auf Grad einstellen):

phi=arccos (-q/[2√(|p|/3)³]

Dann ist x1=2*√(|p|/3)*cos (phi/3)-a³.

Für x2 und x3 addierst Du im Argument des Kosinus einmal 120° zu phi/3 und einmal 240°.

Hier ist phi=138,3063413° und x1=2, x2=-2, x3=1.

Herzliche Grüße,

Willy

Da gibt es mehrere Möglichkeiten.

Ich schreibe sie nur kurz und knapp hin, du kannst danach googeln und auf Youtube Videos dazu anschauen :

  • Häufig sind Nullstellen bei Schulaufgaben ganzzahlige Nullstellen. Mit einer Wertetabelle können sie deshalb ganz schnell gefunden werden.
  • Polynomdivision, wenn man schon eine Nullstelle kennt.

Sind die Nullstellen keine ganzzahligen Zahlen, dann -->

  • Newton-Verfahren
  • Fixpunktiteration (Fixed Point Iteration)
  • Intervallschachtelungsverfahren

Die Verfahren haben alle ihre Vor- und Nachteile.

Im echten Leben verwendet man keines dieser Verfahren, denn es gibt Verfahren, die sämtliche komplexen und reellen Nullstellen eines beliebigen Polynoms auf einen Schlag liefern. Das ist dann aber keine Schulmathematik mehr, weshalb das nicht gezeigt wird.

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Okay danke! Werde ich tun.

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31

Geschlossene Formeln ähnlich der PQ-Formel (natürlich komplizierter) gibt es für Gleichungen 3. und 4. Grades. Alles andere löst man ("man" ist hier der GTR oder ein Computer) mit numerischen Näherungsverfahren.

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43
@Schachpapa

"Berechnung s„ämtlicher reeller und komplexer Nullstellen eines algebraischen Polynoms mit reellen Koeffizienten mit Hilfe des Verfahrens von Muller."

Gisela Engeln-Müllges hatte einen entsprechenden Algorithmus veröffentlicht.

Der kann mit hoher Rechengeschwindigkeit sämtliche Nullstellen eines Polynoms beliebigen Grades ausrechnen, Er macht auch die geschlossenen Formeln praktisch überflüssig.

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43
@Schachpapa

Ja, da hast du recht.

Eigentlich finde ich jedes Verfahren interessant.

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Klingt für mich nach einem Fall für die gute alte Polynomdivision.

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Aber da muss man doch eine Nullstelle kennen, oder?🤔

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23
@HarryHolly02

Jep. In der Regel muss diese erraten werden. Einfach mal mit 1, 2, -1 probieren.

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@Schraube22

Danke :) Leg mich aber jetzt erst mal schlafen, morgen früh geht's weiter ;D

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31

Funktioniert in der Regel nicht, wenn die Parameter a,b,c,d zufällig ausgedacht wurden. Dann gibt es meist keine ganzzahlige Lösung, die man für die PolDiv braucht.

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