Nullstellen einer Funktion 3.Grades

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5 Antworten

hier musst du x ausklammern;

x(x²-9)=0 und x1=0 und x2=-3 und x3=+3

mit dem Null-Produktsatz

m.E. brauchst du dafür keine pq-formel:

x^3-9x=0 => x^3=9x => x^2=9 also Nst. sind schon mal -3 und 3 ebenso ist 0 eine Nst.

Eine Fkt. dritten Grades hat max. 3 Nst., damit hast du also alle Nst bestimmt.

Zunächst einmal.. eine Funktion 3. Grades kann zwischen einer und drei Nullstellen haben. Also wenn du eine findest, heißt es nicht immer, dass du auch noch weitere findest.

So.. der Trick liegt nun darin, dass du die Funktion auf eine Funktion 2. Grades zurückführst. Das lässt sich machen, da du immer Funktion höheren Grades auch als Produkte aus niedrigeren Graden darstellen kannst.

Normalerweise brauchst du als Lösungsansatz allerdings immer eine Nullstelle, durch welche du die Funktion dann teilst, um eine neue Funktion zu haben, mit der du weiter arbeiten kannst. Ich nehme an, es ist dir hier aber keine Nullstelle bekannt. Dann fängt man manchmal an zu raten und probiert ein paar Punkte aus, ob sie denn Nullstellen sind.

Hier ist die Lösung jedoch deutlich einfacher, da du keinen Summanden in der Formel hast, der nicht auch mit x multipliziert wird. Das heißt, du kannst das x ausklammern und die Funktion als folgendes Produkt darstellen: f(x) = x( x^2 - 9).

Wie du weißt, ist ein Ausdruck Null, wenn ein Faktor Null ergibt. Wenn du hier x=0 einsetzt, siehst du, dass vor der Klammer eine Null als Faktor steht, wodurch die ganze Funktion Null ergibt. Hier hast du dann tatsächlich die erste Nullstelle.

Um weitere Nullstellen zu finden, betrachtest du also den anderen Faktor: die Klammer.

Das heißt, du notierst dir den Inhalt der Klammer als zweite Funktion: g(x) = x^2 - 9

Wenn du durch diese Funktion weitere Nullstellen findest, dann sind das die übrigen Nullstellen von f(x). Wenn du keine weiteren findest, dann bleibt es bei einer Nullstelle.

Du kannst ausklammern:

f(x) = x³ - 9x

Notw. Bed.: f(x) = 0

x³ - 9x = 0
x * (x² - 9) = 0

Ein Produkt ist genau dann gleich Null, wenn mindestens eines seiner Produkte gleich Null ist.

x = 0   v   x² - 9 = 0
x = 0   v   x = 3   v   x = -3

Setz halt mal -3, 0 und 3 ein ... sieht man doch gleich ;-)

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