Nullstellen der Funktion mit Parameter A berechnen?

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7 Antworten

So hätte ich es jetzt gelöst 

 - (Mathe, Funktion, Algebra)

  Ich muss hier also auf deinen Kommentar eingehen. Du hast verstanden, dass das Nomogramm ( 2.1b ) eine Hyperbel darstellt mit Öffnungswinkel 45 ° . Dabei ist es mir gelungen, eine ===> rationale Darstellung anzugeben, der man das sofort ansieht.

   Jetzt gibt es Mathelehrer, die von all dem nichts wissen ( dürften sogar Tausende sein. ) Aus irgendeinem Grunde verlangen die ein geradezu sklavisches Auflösen von Gleichungen, obgleich du damit in den seltensten Fällen gute Erfahrungen machst. Es ist nicht an dem, dass ich noch nie von der Mitternachtsformel ( MF ) gehört hätte, die ja nur deshalb so heißt, weil sie ( angeblich ) so wichtig ist, dass du die selbst dann noch können musst, wenn dich jemand um Mitternacht weckt:

 

    x1;2  =  p / 2  -/+  sqr  [  ( p / 2 )  ²  -  q  ]      (  3.1  )

 

    Was ist das eigentlich; eine psychotische Störung?

  Bei ( 3.1 ) handelt es sich um die nämliche Hypüerbel wie in ( 2.1b ) ;  aus " Portrait " haben wir ja nur " landscape " gemacht - aber um welchen Preis.

   ( 2.1b ) stellt beide Hyperbeläste dar als ( eindeutige )  Funktion p = f ( x ) Dagegen ( 3.1 ) kannst du nicht mal in den Rang einer Umkehrfunktion von ( 2.1b ) erheben; es existiert  ein Intervall, wo die Zuordnung ( 3.1 ) überhaupt nicht definiert ist. Und ansonsten ist diese Zuordnung zweideutig Plus / Minus ; wohl gemerkt: Das entspricht jetzt nicht den beiden verschiedenen Hyperbelästen.

   Dazu kommt noch, dass du der Form ( 3.1 ) so spontan gar nicht ansiehst, dass dies eine Hyperbel sein soll - wenn du ihr überhaupt etwas ansiehst. Denn nicht zu Unrecht genießt die ===> Galoisteorie nur den aller schlechtesten Ruf; das irrwitzige Verlangen, jedes Polynom durch ===> Radikale auflösen zu müssen.

   Es gibt ja längst die Normalform der Hyperbel aus dem Lehrbuch

   ( y / a )  ²  -  (  x / b )  ²  =  1     (  3.2  )

   Mit ( 3.1 ) hat das gelinde gesagt eher wenig zu tun.

   Ich müsste ja viel mehr dokumentieren; eine dieser Parameteraufgaben war der Art heimtückisch, da musstest du eigens eine Grenzwertbetrachtung für den Sonderfall a ===> 0 anschließen. In meiner Darstellung fiel das sofort auf; von der Mitternachtswurzel wurde der Effekt geschickt verdunkelt.

     Es ist schon so, wie ich sage; in ( 2.1b ) folgt die abhängigkeit von p aus x durch eine Glas klare Kurvendiskussion. Dagegen wie die beiden x in ( 3.1 ) von p abhängen, vermagst du dir anschaulich gar nicht vorzustellen.

   " Was sagt uns das? Nichts.

     Und was haben wir davon? Wieder nichts. "

   Es dürfte von Interesse für dich sein, dass die Wurzeln quadratischer Gleichungen um so bedeutungsloser werden, je mehr du dich dem Abi n#äherst; die Praxis hat nämlich ihr Urteil längst gesprochen.

   Und was meine drei Silvester Mensa anlangt. Mir ist keine Vorlesung oder Übung erinnerlich, wo ich jemals quadratischer Gleichungen oder der MF bedurft hätte ...

    Hier die Fortsetzung Teil 2 . Man kann alles auch ganz anders angehen. Da der Parameter p in ( 1.1 ) linear vorkommt, stellen wir alles nach p um , " eine unserer leichtesten Übungen " , wie einer der dummen Sprüche von meinem Chef lautete ( Ich entstamme einem
Welt-Elektronikkonzern. )

   p  =  (  x  ²  +  3  )  /  x   =    (  2.1a  )

       =  x  +  3  /  x     (  2.1b  )

  
( 2.1 ) ist gewisser Maßen unser ===> Nomogramm, um die Nullstellen aufzusuchen. Im Abstand p zur Abszisse ziehen wir eine Parallele; und diese schneidet Kurve ( 2.1 ) in den Nullstellen; ihr müsstet ( 2.1 ) heraus plotten.

     Mal Hand aufs Herz; um was für eine Art Kurve handelt es sich denn bei ( 2.1b ) ? Wenn du jetzt antwortest

        " Gerade + Hyperbel "         (  2.2  )

  
bist du mir schon auf den Leim gegangen ( Sonst hätte ich diese Fangfrage ja nicht stellen brauchen. ) Im Wechselspiel mit dem Konkurrenzportal ===> Lycos gelangen mir ja die meisten Entdeckungen; dort war als ===> Extremwertaufgabe gefragt, welcher Punkt einer
Kurve analog ( 2.1b ) den kleinsten Abstand vom Ursprung hat. Für Schüler an sich durchaus zu bewältigen. Einer alten Gewohnheit folgend, war mir das Beste nicht gut genug; und ich transformierte hin und her, obwohl mir längst mehrere Kommentare bestätigten, dass ich super Ideen drauf habe.

     Nachdem ich mich von meinem ersten Schock erholt
hatte - von welchem Schock? Um es mit meinem Kollegen zu sagen:  Aktion ===> Heinz Mägerlein;

   " Was man weiß, was man wissen sollte. "

  Jeder Student im 2. Semester weiß - sollte wissen - dass eine ===> homogene quadratische Form ( HQF ) immer einen ===> Kegelschnitt ( KS ) darstellt ( Ellipse bzw. Hyperbel ) Und ( 1.1 ) stellt eine HQF dar in den beiden Veränderlichen p und x :

     F  (  p  ;  x  )  :=  p  x  -  x  ²  =  3  =  const     (  2.3  )

      demnach

        " Gerade + Hyperbel  = Hyperbel "         (  2.4a  )

   Das ist bei Weitem noch nicht das Wesentliche hinter meiner Entdeckung; es gilt nämlich auch die Umkehrung von ( 2.1b;2.2 )  Du kannst jede Hyperbel auf die Normalform bringen

     f  (  x  )  =  A  x  +  B / x    (  2.4b  )

   Du musst nur zweierlei tun:

   1) Das Zeichenblatt  so drehen, dass eine der beiden ===> Asymptoten vertikal unter 90 ° C ansteigt.

   2) Diktat für das Regelheft:

   " ( Die beiden Äste ) einer Hyperbel verlaufen Punkt symmetrisch zu dem Schnittpunkt ihrer Asymptoten. "

   Und als Zweites musst du den Koordinatenursprung in dieses Symmetriezentrum verlegen.

   Eine Normalform der Hyperbel kennen eure Lehrbücher ja schon; nennen wir Normalform ( 2.4b ) die G-Fom, " G " wie Gilgamesch.

   Ein Schüler fragte michmal, warum ich mich eigentlich Gilgamesch nenne. Weil ich der ===> Wanderer ferner Wege bin.

   Ich muss abschicken; ich fürchte ja, der Editor bricht wieder zusammen. Es folgt noch ein Teil 3 .

So sehr ich deine Bemühungen auch zu schätzen weiß, die richtige Antwort ist bereits gefallen. Beachte, dass es hierbei um das Auflösen von a geht und nicht um das Bestimmen von a. Dennoch kannst du deinen dritten Teil fortsetzen, da es bestimmt Leute gibt, die nach dieser Frage googlen und froh sind, solch eine ausführliche Erklärung vorzufinden :-) MfG

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  Es geht immer über die Mitternachtsformel; die gibt dir zwar einen expliziten Ausdruck. Aber zu dieser Wurzel würde mir der böse Spruch einfallen

   " Und? Was sagt uns das? Nichts.

  Und Was haben wir davon? Wieder nichts ... "

   Gestatte dass ich deinen Parameter p nenne und nicht a . Denn so taucht er Standard mäßig in dem Satz von Vieta auf

   x  ²  -  p  x  +  q  =  0  ;  q  =  3     (  1  )

   Denken wir doch mal von zwei komplex konjugierten Wurzeln z0 , z0 * her. Dann besagt Vieta

   q  =  |  z0  |  ²  =  3  ===>  |  z0  |  =  sqr  (  3  )   (  2a  )

   p  =  2  Re  (  z0  )  ===>  Re  (  z0  )  =  p / 2   (  2b  )

   Nun kann ( dem Betrag nach ) der Realteil einer komplotten Zahl nicht größer sein als ihr Betrag:

  |  p  |  < =  2  sqr  (  3  )   (  2c  )

  Im Grenzfall, wenn das gleichheitszeichen gilt, hast du eine entartete reelle Woppeldurzel; so bald Ungleichung ( 2c ) verletzt ist, liegen zwei einfache reelle Wurzeln vor.

   So ich schickmjetzt erst mal ab, weil dieser Editor dauernd abstürzt. Es folgt aber noch eine Fortsetzung  Teil 2

Hier trifft der Spruch zu "Weniger ist manchmal mehr " wer soll da noch durchblicken? Aber nichts für ungut 😂

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f(x,a) = x^2 - ax + 3

f(x, a) = 0 = x^2 - ax + 3

pq-Formel:

--> x(1|2) = 0.5a +/- sqr(0.25a² - 3)   mit der Quadratwurzel als: "sqr(...)"

PS: Genauso wie sonst auch. Dabei kann es jedoch sein, dass die Nullstelle dann kein fester Wert mehr ist sondern von dem Parameter abhängen kann.

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Erstmal die Funktion mit 0 gleichsetzen und dann kannst du doch einfach die p/q Formel benutzen . Du hast halt einfach nur den Parameter a statt ne Zahl gegeben  :) 

Da liegt mein Problem. Mit Buchstaben ist in meinem Gehirn keine Rechnung möglich.

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Danke dir! War einfach exakt das, was ich gesucht hatte.

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mach mal die pq-Formel mit p= -a und q=3

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