Nullstellen berechnen von f(x) = 2(2x-4)^5 - 6(2x-4)^3 - 40x +80?

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6 Antworten

f(x) = 2(2x-4)^5 - 6(2x-4)^3 - 40x +80 =
= 2(2x-4)^5 - 6(2x-4)^3 - 20 (2x-4) =
(2x-4) *[2(2x-4)^4 - 6(2x-4)² -20]

1. Nullstelle folgt aus (2x-4) = 0
x = 2

für
[2(2x-4)^4 - 6(2x-4)² -20] = 0

 kannst du substituieren:
(2x-4)² = u
(2x-4)^4 = u²

und du hast eine quadratische Gleichung in u, die du etwa mit der pq- Formel lösen kannst

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Kommentar von Rhenane
29.09.2016, 21:50

Elegant. Da sieht man, es geht auch ohne raten und Polynomdivision (wie bei meiner Antwort) wenn man vernünftig ausklammert :)

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Kommentar von Zwieferl
30.09.2016, 14:01

Ups! Wenn ich vorher alle Antworten gelesen hätte, hätte ich mir Arbeit erspart ;-) Kompliment Herr/Frau/Woswasi gfntom

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Als erstes gilt es die erste Nullstelle zu raten. Bei x=2 siehst Du, dass die Klammern Null werden und hinten heben sich -40*2 und +80 auf.
Jetzt gehts an die Polynomdivision durch (x-2). Klammerst Du in den Klammern die 2 aus und bringst sie vor die Klammer gehts recht leicht weiter:

also:2(2x-4)^5 - 6(2x-4)^3 - 40x +80 = 2(2(x-4))^5-6(2(x-2))³-40x+80
= 2^6(x-2)^5-48(x-2)³-40x+80 = 64(x-2)^5-48(x-2)³-40x+80

Polynomdivision:
(64(x-2)^5-48(x-2)³-40x+80) : (x-2) = 64(x-2)^4-48(x-2)²-40

Jetzt substituieren: z=(x-2)
=> 64z²-48z-40

Jetzt mit pq-Formel weiter und abschließend re-substituieren, fertig.

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Das ganze Trumm (österreichisch für "großes Stück") mal etwas umformen:

f(x)= 2·(2x-4)⁵-6·(2x-4)³-20·(2x-4) → zwecks besserer Lesbarkeit setze (2x-4)=z
→ f(z) = 2z⁵-6z³-20z → z·(2z⁴-6z²-20)=0 ⇒ z₁=0, der Rest mit pq-Formel
→ z⁴-3z²-10=0 ⇒ z²=5 v z²=-2 (nicht reell) ⇒ z₂=√5 v z₃=-√5

Im nächsten Schritt die z’s der Reihe nach in (2x-4)=z einsetzen und die entsprechenden x ausrechnen.

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Hallo,

eine liegt bei x=2

Herzliche Grüße,

Willy

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für -40x+80 kannst du schreiben: -20(2x-4)

also kannst du aus den 3 Termen (2x-4) ausklammern

(2x-4)[2(2x-4)^4 - 6(2x-4)² -20]=0 dann mit Nullproduktsatz

x1 = 2

und dann Substitution

2u² - 6u -20 = 0    durch 2 teilen, pq-Formel usw

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Gib die funktion am besten in dem computerprogramm geogebra ein

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