Nullstellen berechnen bei 1/8.... ?

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3 Antworten

Das hat keine reellen Nullstellen, d.h. das übliche Raten und Polynomdivision funktioniert nicht.

Entweder hast du die Aufgabe falsch abgeschrieben

oder du musst die Lösung per Näherungsverfahren (z.B. Intervallhalbierung oder Newton) bestimmen

Oder mit dem GTR oder mit

http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E4-13x%5E3%2B16

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Rhenane 05.10.2016, 18:52

keine ganzzahligen Nullstellen, reelle schon

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Willy1729 05.10.2016, 18:56
@Rhenane

Vielleicht soll es statt -13x^3 -13x^2 heißen.

Dann wäre die Gleichung nach Substitution von x² durch u durchaus lösbar:

(1/8)*(u²-13u+16)

pq-Formel und aus den Lösungen jeweils die positiven und negativen Wurzeln ziehen.

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  Schau mal, was Pappi alles weiß:

https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_%C3%BCber_rationale_Nullstellen

  Der Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN ) Junge du lebst in aufregenden Zeiten; die Behauptung von Wiki, der SRN gehe auf Opa Gauß zurück, stellt eine dreiste Lüge dar; viel mehr wurde er erst im Jahre 1990 entdeckt. Das verhält sich praktisch so ähnlich wie bei gefälschten Rembrandts und Tizians; hier meine Einwände.

  1)  Rekapituliere bitte, wie man beweist, dass Wurzel ( 2 ) irrational. Und jetzt führst du den Beweis über den SRN . Hier wenn doch der SRN von Gauß stammt. wieso sind weder er selbst noch sonst jemand in den verflossenen 200 Jahren auf diesen Beweis verfallen?

   2) Gauß ist doch Kult; wieso hat dein Lehrer noch nie vom SRN gehört? ( Da wär der nicht der erste; hier gibt es noch mehr Studienräte online. )

   3) Bist du noch Schüler? Dann kannst du noch nicht wissen, dass die einzigen ernst zu nehmenden Algebrabücher Artin und v.d. Waerden sind ( 1930 ) Dein Lehrer  kennt das; bitte ihn nachzusehen, ob diese Bücher einen SRN kennen.

   4) Aus Aufgabenblättern, die bei der Konkurrenz " Mathelounge " gepostet wurden, geht unzweideutig hervor, dass die Mehrheit der Matheprofs vom SRN noch nie gehört hat und die verbliebene Minderheit Gerüchte weise Teilaussagen des SRN .

   5) Ein Teorem, das ehrwürdige 200 Jahre auf dem Buckel hat, wäre längst Wasser dicht formuliert. Ich kenne kein Internetportal, das je begriffen hätte, dass die Aussage des SRN Sinn voll ist doch nur für ===> primitive Polynome ( ganzzahlig gekürzt: warum? ) Wiki erdreistet sich gar, gebrochene ( ! ) Koeffizienten ins Auge zu fassen. Professionell wirkt, wenn du schreibst

   " Gegeben ein primitives Polynom. "

   Da eben kein Lehrbuch das richtig hat, sehe ich mich gezwungen, eine neue Definition in die Algebra einzuführen.

  " Ein Polynom heißt normiert, wenn seine primitive Form ( PF ) mit seiner Normalform übereinstimmt. "

  Ich geh jetzt erst mal essen und schicke ab; ist ja schon aufregend genug.

   Hast du dich von deinem Schock erholt? ehrenwort; ich mach auch noch fertig.

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Rhenane 05.10.2016, 19:10

Wirst Du diesen Text jetzt jedesmal hier rein kopieren, wenn es um das Ermitteln von Nullstellen "jenseits der pq-Formel" geht?

Das Wissen von Pappi, also den Satz von den rationalen Nullstellen (SRN) zu kennen, hilft hier auch nicht weiter...

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gilgamesch4711 06.10.2016, 02:08
@Rhenane

  Drei Kommentare. 

   1) Zu dem Tema SRN werde ich mich erst dann kurz fassen, wenn ich den Eindruck habe, dass dieses Teorem auch bei dem letzten von euch durchgedrungen ist. Wenn ich schreibe " SRN " und ich lese auch nur einen Kommentar, was das ist, ist es eindeutig noch zu früh.

   2) Gerade bei Beispielen wie diesem gibt dir doch der SRN allererst die Gewissheit, dass die Wurzeln irrational sind; dass da vor dem SRN keiner ernsthaft drüber nachgedacht hat, ist nicht grade ein Ruhmesblatt.

   3) Auch die Geschichte mit den quadratischen Gleichungen ( QG ) ist noch nicht bis zu dir durchgedrungen; das folgende Korollar zum SRN , das ich noch in der Woche entdeckte, als mir der SRN bekannt wurde, ist der letzte Nagel zu Gauß seinem Sarg.

    Gegeben eine QG in PF

    f ( x ) := a2 x ² + a1 x + a0 = 0     (  2.1  )

     Ihre Wurzeln seien

    x1;2 := p1;2 / q1;2 € |Q        (  2.2  )

   wobei Darstellung ( 2.2 ) wie üblich als gekürzt voraus gesetzt sein möge. Dann gelten die beiden pq-Identitäten

     p1 p2 = a0       (  2.3a  )

     q1 q2 = a2      (  2.3b  )

    Wäre Gauß wirklich der Entdecker des SRN . Die Mitternachtsformel ( MF ) ist kontra-intuitiv; pädagogisch ließen sich Schüler viel eher über ( 2.3ab ) motivieren.

   Die Schüler haben auch null Durchblick; für die Ergebnisse, die hier mit der MF häufig abgeliefert werden, habe ich nur ein müdes Grinsen übrig - ich vergleiche einfach, ob ( 2.3ab ) erfüllt ist ...

   In 99.9 % der Fälle kannst du die Lösung sogar mit ( 2.3ab ) erraten. Mir Frankfotter hawwe da en gei le Witz über das Verhältnis von Lehrer und Schüler.

   Waaste schon emaa in ===> Dribbdebach geweese; in Sachsehause? Uff'n Affetorplatz?

  Sitzt e klaa Äffsche uff die Palm im Urwald. Unn rings konzentrisch kimmt e Riiiiiese Feuerwalz auf die Palm auf zu. Wie pringt sisch des klaa Äffsche in Sischerheit?

  Antwott: " Ei woher soll's dann des klaa Äffsche wisse, wann's de große Aff net weiß? "

   Und genau so verhält es sich mit dem SRN .

   Wer zu diesem Tema mehr entdeckt, als ich BISHER schon entdeckt habe. Der möge krähen. Krähen wie der Aff aufm Affentorplatz ...

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  Dies ist der versprochene Teil 2; meine Ergänzung. Verrückte Idee,
den Aufgabentext abändern zu wollen. Bitte erst Teil 1 lesen. Noch
Erläuterung zu meiner Definition

   PF und Normalform sind nur
zwei ( äquivalente ) FORMEN des selben Polynoms. Dagegen normiert zu
sein, ist eine Eigenschaft des Polynoms selbst. Und dein f ( x ) ist
normiert unabhängig von dem ===> Leitkoeffizienten 1/8 - siehst du
das?

   Korollar zum SRN :

   " Ein normiertes Polynom kann wenn überhaupt rationale, so nur ganzzahlige Wurzeln haben. "

  
Jetzt mache ich aber erst mal etwas anderes, worauf du in Zukunft stets
achten solltest.  Selbst uns Studenten haben sie die cartesische
Vorzeichenregel ( CV ) verschwiegen, weil sie so nützlich ist; Aktion
Immanuel. Wie viel reelle Wurzeln; " was kann ich erwarten; was kann ich
hoffen? "

   Gleich im Falle x < 0 brettert die CV auf eine
Entartung; hier wie soll denn die Summe aus drei positiven Termen Null
werden?

    Intressanter wird es schon im Falle x > 0 . Gibt es
überhaupt reelle Lösungen? Zu diesem Punkt gibt die CV zwar nichts her.
Wenn aber, dann genau zwei. Und Wolfram entscheidet diese Frage ja
positiv.

   Ich sage dies ausdrücklich, weil in den Zahl reichen
Antworten Polynomdivision anklingt ( Längst habe ich einfachere und
Konkurrenz fähige Verfahren zur Polynomdivision entwickelt. ) Aber es
ist alles unnötige Umstandskrämerei; dank CV sind wir fertig. Da wie
gesagt keine ganzzahligen Lösungen darunter sind, wissen wir auch, beide
sind irrational.

   In einem sehr wichtigen Punkt allerdings
vertraue ich Wolfram blind. Ich unterstelle mal, dass dein Polynom prim
ist, das ===> minimalpolynom seiner Wurzeln.

   Ja es gibt
sogar noch mehr. Ich hatte mal ein Polynom 4. Grades, das war auch prim (
über |Q ) Und wolfram hat dies genau dadurch bewiesen, dass du eine
ganz bestimmte Quadratwurzel, nämlich 21 ^ 1/2 , adjungieren musstest.
Über dem Körper

              |Q  (  21 ^ 1/2  )

    zerfiel
dieses Beispielpolynom in zwei quadratische Faktorpolynome, war also
über die Mitternachtsformel zu lösen. Ich vertraue Wolfram, dass es hier
nichts Derartiges gibt.

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