Nullstelle von einer Funktion f(x) mit e^?

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2 Antworten

(1 / 2) * x ^ 2 - (1 / 2) * e ^ (0.5 * x) + 1.5 = 0 | : (1 / 2)

x ^ 2 - e ^ (0.5 * x) + 3 = 0

Damit kann man sich nun eine Iterationsformel für Fixpunktiteration basteln -->

x ^ 2 - e ^ (0.5 * x) + 3 = 0 | + e ^ (0.5 * x)

x ^ 2 + 3 = e ^ (0.5 * x) | ln(...)

ln(x ^ 2 + 3) = 0.5 * x | : 0.5

x = 2 * ln(x ^ 2 + 3)

Das ist die Iterationsformel !

Startwert x = 0

x = 2 * ln(0 ^ 2 + 3)

x = 2.197224577

x = 2 * ln(2.197224577 ^ 2 + 3)

x = 4.115361938

x = 2 * ln(4.115361938 ^ 2 + 3)

x = 5.985074738

x = 2 * ln(5.985074738 ^ 2 + 3)

usw.

Wenn man diese Iterationen immer weiterführt und mit 15-stelliger Genauigkeit rechnet anstelle von 9 - stelliger, dann erhält man nach 46 Iterationen den Wert -->

x = 8.755508086680093

Dieses Iterationsverfahren konvergiert meistens langsamer als die Newton-Iteration, dafür kommt es ohne Berechnung der Ableitung aus.

Die Newton-Iteration hat dir ja Willy1729 schon gezeigt ;-)) !!

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Willy1729 25.11.2015, 20:34

Super, das kannte ich noch gar nicht.

Vielen Dank,

Willy

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DepravedGirl 25.11.2015, 20:39
@Willy1729

Ja, wenn es mal mit einer Iterationsformel nicht funktioniert, dann muss man es stattdessen nach dem anderen x auflösen, hier wäre das

x ^ 2 + 3 = e ^ (0.5 * x)

x = √( e ^ (0.5 * x) - 3)

Diese Iterationsformel konvergiert in diesem Beispiel nicht, aber irgend eine der Auflösungsmöglichkeiten nach der Variablen konvergiert fast immer, aber es gibt Fälle, genau wie bei der Newton-Iteration, wo es überhaupt keine Konvergenz gibt, obwohl es eine Nullstelle gibt.

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Hallo,

wie soll diese Funktion denn gleich Null werden?

x² ist immer positiv. e hoch irgendetwas ist immer positiv und 3 ist immer 3.

Das Ding kann gar keine Nullstelle haben, da kannst Du bis zum Jüngsten Tag rechnen.

Herzliche Grüße,

Willy

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GoldenShadow 25.11.2015, 18:56

Sorry, ich habe mich verschrieben, es ist -e^0,5x

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Willy1729 25.11.2015, 19:10
@GoldenShadow

Dann hat die Funktion eine Nullstelle bei x=8,756. Das habe ich allerdings den Computer berechnen lassen.

Herzliche Grüße,

Willy

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Willy1729 25.11.2015, 19:37
@Willy1729

Du kannst die Nullstelle auch mit dem Newton-Verfahren berechnen. Dazu wählst Du einen x-Wert in der Nähe der vermuteten Nullstelle, z.B. x=9, und rechnest 9-f(x)/f'/x), also
9-(9²-e^4,5+3)/(18-0,5*e^4,5) Im Nenner ist f'(9); f'(x) lautet 
2x-0,5*e^0,5x. Das ergibt etwa 8,7772. Diesen Wert setzt Du nun für x in diese Gleichung x-f(x)/f'(x) ein. Das, was Du dann herausbekommst, wird der x-Wert für die nächste Runde usw, bis sich am Ergebnis nichts mehr ändert.

Herzliche Grüße,

Willy

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