Nullstelle von dieser Gleichung berechnen?

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7 Antworten

Die Gleichung 3x^4 - 6x² - 24 = 0 ist eine sog. biquadratische Gleichung, da in ihr x² und (x²)² vorkommen. Solche Gleichungen kannst Du gut mit der Substitution lösen: Du ersetzt/substituierst x² durch z und erhältst

3z² - 6z - 24 = 0

Diese Gleichung kannst Du z.B. mit pq-Formel lösen und erhältst die Lösungen für z (-2 und 4). Anschließend z wieder durch x² ersetzen, beide Gleichungen nach x auflösen (soweit möglich).

Dieses Verfahren geht auch bei x³ und x^6, x^4 und x^8...

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Gulchen 03.06.2016, 23:03

Hab Substitution auch gerade in meinem Heft gefunden und werde damit dann rechnen. Danke!!

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KDWalther 03.06.2016, 23:05
@Gulchen

Jaja, manchmal lohnt es sich eben doch, mal nachzusehen, was man in der Schule so hatte :-)

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Gulchen 03.06.2016, 23:14

Jaa haha, ist auch für die schule :)

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Hierfür gibt es mehrere Lösungswege.

Eine davon wäre Substitution, allerdings übersehen hier viele Leute eine viel einfachere Möglichkeit: Den Satz des Nullprodukts.

f(x) = 3x⁴ - 6x² - 24

Nullstellen:

0 = 3x⁴ - 6x² - 24
   = x⁴ - 2x² - 8
   = (x + 2)(x - 2)(x² + 2)

Satz des Nullprodukts:

"Ein Produkt wird null, wenn mindestens einer der Faktoren null wird."

Also:

x₁ + 2 = 0 => x₁ = -2
x₂ - 2 = 0 => x₂ = 2
x₃² + 2 = 0 => x₃ = √-2

x₁₋₂ = ±2

Die Funktion hat die Nullstellen -2 und 2.

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.

LG Willibergi

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Es hätte auch mit Polybomdivision geklappt. Nur muss man dann zweimal ran, und man muss es richtig machen. Das heißt, du lässt Lücken für die Potenzen, die fehlen, denn beim Zurückrechnen werden sie mit Sicherheit aufgefüllt.

Wegen Lösung x₁ = 2 ist der erste Linearfaktor:  x - 2

 (3x⁴           - 6x²          - 24) : (x - 2)  =  3x³ + 6x² + 6x + 12
-(3x⁴ - 6x³)
_________
          6x³  -  6x²
        -(6x³ - 12x²)
        __________
                   6x²
                 -(6x² -12x)
                ____________
                          12x - 24
                          12x - 24
                         _______
                                   0

Aus dieser Gleichung bekommt man durch Probieren: x₂ = -2   LF:  x + 2

 (3x³ + 6x² + 6x + 12) : (x + 2)  =  3x² + 6
-(3x² + 6x²)
____________
                   6x + 12
                   6x + 12
                   ______
                          0

Die letzten beiden Lösungen sind dann zwar nicht reell; aber darauf kam es hier nicht an. Häufig gibt es auch vier reelle Lsöungen, und wenn einem die Substitution nicht einfällt, geht es mit zweimaliger Polynomdivision. Und wie man das mit den Lücken hinbekommt, hast du ja gerade gesehen.

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substitution

3u²-6u-24=0

u²-2u-8=0

u(1,2) = 1 ± wurzel(1+8)

u1 = 4 also x1 = 2 und x2 = -2

u2 = -2 keine wieteren Lösungen

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Die nullstellen sind -2 und 2

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Gulchen 03.06.2016, 22:58

Schafft man das mit nullsetzen und nach x auflösen?

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LGBTsupport 03.06.2016, 23:00

Ich hab einen Taschenrechner, der das allein kann :D aber theoretisch müsstest du es auch mit nullsetzen hinbekommen

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Du kannst es ganz einfach in deinen Taschenrechner eingeben. 

Casio f-CG 20 grafiktaschenrechner. 

-> gibt doppelte Nullstelle 0 !

Wenn man den Graphen zeichnet :

Gibt der Taschenrexher : x1 -2 / 0 

x2 2 / 0

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Nein nein nein; du musst das alles gleich null setzten und dann erst auflösen. Ich glaub da kommt pi raus!

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Willibergi 04.06.2016, 00:59

Worauf beruht diese Annahme? ^^

LG Willibergi

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