Null stellen Berechnung?

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5 Antworten

Lineare Funktion:

f(x) = 3x - 9
Bedingung: 3x - 9 = 0   | +9
                   3x      = 9   | /3
                     x      = 3
IL = {3}

Quadratische Funktion:

f(x) = 2x² + 2x - 12
Bedingung:   2x² + 2x - 12 = 0     | /2      normieren
                       x²  +  x -   6 = 0               p = 1    q = -6      p,q-Formel
                                   x₁,₂ = -0,5 ±√(0,25 + 6)
                                   x₁,₂ = -0,5 ± 2,5
                                   x₁   =  2
                                   x₂   = -3

Es gibt neben der p,q-Formel auch andere Lösungsmethoden.

IL = {-3; 2}

Funktion 3.Grades (kann auch komplizierter sein):

f(x) = x³ + x² - 6x
Bedingung: x³ + x² - 6x    = 0      | x ausklammern (geht nicht immer)
                   x (x² + x - 6)  = 0      | Satz vom Nullprodukt
1. Fall:        x₁                  = 0
2. Fall         x² + x - 6       = 0        habe ich genommen, weil wir die kennen
                  x₂                  =  2
                  x₃                  = -3

IL = { -3; 0 ; 2}

Wenn noch eine Konstante in der Gleichung steht, ist die erste Lösung nicht Null. Dann muss man probieren und eine Polynomdivision machen, aber für diese kleine Übersicht würde das zu weit führen. 

IL ist immer die so genannte Lösungsmenge.                        

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Nullstellenberechnung bedeutet, dass man die x-Werte sucht, bei denen der Funktionsterm 0 ergibt.
Anschaulich bedeutet das, der Funktionsgraph schneidet oder berührt an dieser(n) Stelle(n) die x-Achse.
Also gesucht sind die x-Werte für die gilt: f(x)=0

Vorgehensweise:
Der Funktionsterm wird =0 gesetzt und dann nach x aufgelöst. So kann man die x-Werte errechnen, an denen f(x)=0 gilt.

Einfaches Bsp einer linearen Funktion: f(x)=3x-7
Nullstellenberechnung:
0=3x-7
3x=7
x=7/3
Bei x=7/3 schneidet die Gerade die x-Achse.


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Nullstelle finden bedeutet die Gleichung  f(x)=0 lösen.

  • in Worten: die x Werte finden für welche die Funktionswerte 0 sind 
  • grafisch: sehen ob der Graph der Funktion die x-Achse schneidet, Die gefundenen Schnittpunkte sind die Nullstellen der Funktion.
  • für Gerade gilt f(x) = ax+b 
    Nullstelle bedeutet f(x) = 0    

 

<=> ax+b = 0 |-b  
<=> ax = -b |:a (a darf nicht 0 sein!)
<=> x=-b/a      => N(-b/a | 0)
  • für Parabeln gilt die allgemeine Funktionsgleichung: f(x) = ax²+bx+c
    Nullstelle bedeutet f(x) = 0   
 <=>   ax²+bx+c = 0
Mitternachtsformel: x1 = (-b+Wurzel(b²-4ac))/(2a)
                               x2 = (-b-Wurzel(b²-4ac))/(2a)
zu bemerken ist dass es entweder:
  • zwei Nullstellen gibt, wenn b²-4ac>0 (in der Schulpraxis häufigster Fall). N1(x1|0), N2(x2|0)
  • eine Nullstelle gibt, wenn b²-4ac= 0 ist. Die Nullstelle ist dann  N(-b/(2a)|0). Die Nullstelle ist gleichzeitig auch der Scheitelpunkt (= der höchste oder tiefste Punkt des Graphen) der Parabel.
  • keine Nullstelle gibt, wenn b²-4ac < 0 ist. Das bedeutet graphisch, dass die Parabel entweder komplett über der x Achse liegt und nach oben geöffnet ist (das heißt a>0) oder sie komplett unter der x Achse liegt und nach unten geöffnet ist (a<0)







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Kommentar von habFrage
02.02.2017, 01:47

Der Ausdruck unter der Wurzel wird auch noch Diskriminante genannt und kann mit D bezeichnet werden. Man könnte also auch verkürzt schreiben D = b²-4ac und in der Mitternachtsformel dann x1,2 = (-b +- Wurzel(D)) / (2a).

Wenn man D zu erst berechnet und an die Fallunterscheidung denkt, muss man gar nicht mehr weiter rechnen falls es negativ ist... 

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Welche Funktion?

linear => Gerade?

quadratisch => Parabel

polynom usw.?

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Kommentar von eriiiiccc
01.02.2017, 22:35

Gerade und Parabel sollten wir wissen

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