Normalverteilung? medikament?

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Mit dem Binominalkoeffizient und den gängigen wahrscheinlichkeitsmethoden

Stochastik Aufgabe, Mindestens-Mindestens-Mindestens?

Liebe HelferInnen,

ich befinde mich momentan in der Klausurvorbeitung und bin über diese Aufgabe in einem Mathebuch gestolpert und bitte ganz lieb um Ratschläge:


Eine Firma möchte Laptops auf einer Messe verkaufen. Es wird angenommen, dass 9% aller Messebesucher einen Laptop erwerben. Am ersten Messetag werden 1500 Besucher erwartet.

  • Berechnen Sie die Anzahl der am ersten Tag zu erwartenden Verkäufe.
  • Berechnen Sie, wie viele Laptops am ersten Tag bereitgestellt werden müssen, damit das Angebot für die Besucher mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 98% ausreicht.

Lösungsansatz:

Bei der ersten Teilaufgabe wird lediglich nach dem Erwartungswert gefragt. Da hier die Zufallsvariabel X binominalverteilt ist, beträgt E(X)=n*p und somit gleich 135.

Einfach! :-)

Bei der zweiten Teilaufgabe, komme ich jetzt aber leider ins Grübeln.

Meine Idee: Die Zufallsvariabel X beschreibt die Anzahl der verkauften Geräte. X~B(n; 0,09) Die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der verkauften Geräte keiner oder gleich dem Erwartungswert entspricht, soll mindestens 0.98 betragen:

P( X ≤ E(X) ) ≥ 0,98

Setzt an den Erwartungswert ein, erhält man:

P( X ≤ 135 ) ≥ 0,98

Nun wird die Wahrscheinlichkeit, anhand der kumulierter Binominalverteilung mit linksseitigem Intervall berechnet.

F(n;0,09; 135) ≥ 0,98

Nun ist die Problematik leider, dass man - soweit ich weiß - diese Ungleichung nur schwer lösen kann. Soll man hier lediglich mit den zugehörigen Tabellen oder dem Taschenrechner herumprobieren? Da hier ein etwas größeres n vorliegt, bietet sich hier doch sonst eine Approximation mit der Normalverteilung an? Aufgrund des noch zu ermittelnden n, ist die Laplace-Bedingung nicht prüfbar. Ansatz:

z= (k-np+0,5) / sqrt(np(1-p))

ϕ(z) ≥ 0,98

Ein Blick in die zugehörige Phi-Tabelle bietet mir passende Wahrscheinlichkeiten ab z=2,6 an. Also:

2,6 = (k-np+0,5) / sqrt(np(1-p))

2,6 = (135 - 0,09n + 0,5) / sqrt(0,0819n)

Ein Online-Gleichungsrechner hat mir zur Lösung den Wert n=1505,5 gegeben, welcher jedoch keine Plausibilität zeigt.

Ich brauch dringend Hilfe! :-D Ich freue mich über jede Idee. Vielen Dank schonmal im Voraus! :-)

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