Newton-Verfahren immer anwendbar?

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4 Antworten

Der Beweis des Newton'schen Iterationsverfahren basiert auf dem Banachschen Fixpunktsatz - insofern ist nur für geeignet gewählte Startpunkte (meistens: Nahe genug an der vermuteten Lösung) das angegebene Verfahren konvergent. Vom Grundsatz her handelt es sich bei numerischen Verfahren zur Lösung von (nicht-)linearen Gleichungen nicht immer um lokale Verfahren, d.h., Verfahren, die nur in einer bestimmten Umgebung der vermuteten Lösung zur Lösung selber führen. Hier aber schon. Das wird bereits daran ersichtlich, dass die auf den von anderen genannten Seiten die Ableitung der Funktion im Nenner aufaucht, d.h., dass man versucht hat, die Funktion in linearer Ordnung zu approximieren (s. u.a. auch die Restgliedformel, die Konvergenzen zur qudratischen ordnung angibt).

Da insbesondere die Funktion selber, sowie ihre Ableitung aufaucht, wird man wohl geeignete Differenzierbarkeitseigenschaften der Funktion unterstellen müssen (in viele Anwendungen automatisch gegeben).

Kleiner Ausblick zur Konvergenz solcher Verfahren: Man kann auch Verfahren konstruieren, die schneller als linear konvergieren - für kompliziertere Systeme von Gleichungen wird man sich andere Verfahren suchen, die eine (höhere, zumindest aber andere - meine Numerische Mathematik ist schon über ein Jahr her.) Konvergenzordnung aufweisen.

VG, dongodongo.

WICHTIGER EDIT: quadratische Konvergenz, die Konvergenzgeschwindigkeit wird über die Fehlerordnung bestimmt - ich musst da nochmal in meinen Numerik-Unterlagen nachschlagen, wie sich das genau definiert, sry., falls Verwirrung entstand.

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Naja du brauchst ja die Ableitung, also kannst du das Verfahren beispielsweise nicht auf eine nicht-differenzierbare Funktion anwenden.

Des Weiteren gibt es natürlich ungünstig gewählte Startwerte, für die das Verfahren nicht konvergiert, sondern nur hin und her hüpft.

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