Neue Frage zur Mengenlehre?

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8 Antworten

Ich versuche das an einem Beispiel zu verdeutlichen:

Wie viele Zahlen zwischen 10 und 20 sind durch 3 oder 5 teilbar?

Menge 1 (beinhaltet alle Zahlen zwischen 10 und 20, die durch 3 teilbar sind):

12; 15; 18

Die Mächtigkeit von Menge 1 wäre dann 3 - denn es sind ja 3 Zahlen drin.

Menge 2 (beinhaltet alle Zahlen zwischen 10 und 20, die durch 5 teilbar sind): 10; 15; 20
Die Mächtigkeit von Menge 2 wäre dann 3 - denn es sind ja 3 Zahlen drin.

Nun muss man die beiden Mengen vergleichen. Die Schnittmenge beschreibt die Zahlen, die in beiden Mengen vorhanden sind. In diesem Beispiel ist das die Zahl 15.

Schnittmenge: 15
Die Mächtigkeit der Schnittmenge wäre dann 1 - denn es ist ja nur 1 Zahl drin.

In unserer Fragestellung kommt das Wörtchen ODER vor. Das bedeutet, die gesuchte Zahl muss durch 3, durch 5 oder durch 3 und 5 teilbar sein. Würden wir jetzt sagen "OK, es gibt 3 Zahlen, die durch 3 teilbar sind. Es gibt 3 Zahlen, die durch 5 teilbar sind. Das sind doch insgesamt 6.", dann machen wir den Fehler, dass wir die 15 doppelt gezählt haben (ist schließlich in beiden Mengen drin). Hier hilft die Mächtigkeit der Schnittmenge weiter. Wenn diese von 6 abziehen, erhalten wir 6-1=5; damit wären wir bei unserer Lösung.

Lösungsmenge (alle Zahlen, die wir in der Aufgabe gesucht haben): 10; 12; 15; 18; 20 -> Mächtigkeit der Lösungsmenge ist 5.

Ich habe es hier ein wenig an der fachlichen Korrektheit mangeln lassen, hoffe aber, dass ich damit weiterhelfen konnte. Um Mengenlehre verständlich zu machen, könnte es evt auch helfen, wenn man sich mal mit VENN-Diagrammen auseinander setzt (einfach mal googeln) ;-)

Ich hoffe, ich konnte deine Frage damit größtenteils beantworten

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Kommentar von Geograph
31.07.2016, 21:57

Vielen Dank für Deine Erläuterung.

Ich hätte die Frage in ihrer „Nicht“-Mengenlehre-Formulierung gelöst (siehe meinen Kommentar auf Willibergis Antwort).

Zu Deiner Antwort:

Menge 1 (beinhaltet alle Zahlen zwischen 10 und 20, die durch 3 teilbar sind): 12; 15; 18
Die Mächtigkeit von Menge 1 wäre dann 3 - denn es sind ja 3 Zahlen drin
.“

Ich muss also herausfinden, wieviele Zahlen zwischen 10 und 20 (9 Zahlen) ohne Rest durch 3 teilbar sind. Wie mache ich das? - Indem ich 9 durch 3 teile und vom Ergebnis die Kommastellen abschneide. Ich erhalte 3, die ich  „Mächtigkeit der Menge1“ nennen soll.

Desgleichen mit 5 >>  Ich erhalte 1, die ich  „Mächtigkeit der Menge2“ nennen soll.

Nun muss man die beiden Mengen vergleichen. Die Schnittmenge beschreibt die Zahlen, die in beiden Mengen vorhanden sind. In diesem Beispiel ist das die Zahl 15.“

Dazu muss ich ja die Zahlen aus Menge1 und Menge2 kennen. Bei den Grenzen zwischen 10 und 20 ist das ja relativ einfach, aber was mache ich bei Grenzen zwischen 100 und 200? Schreibe ich dann die Zahlen der beiden Mengen nebeneinander und vergleiche, oder gibt es dafür eine Rechenregel in der Mengenlehre?

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Die Mächigkeit einer endlichen Menge ist gleich der Anzahl der Elemente in der Menge.

"Bestimme die Mächtigkeit der Menge der Zahlen zwischen 100 und 200 die durch 3 Teilbar sind."

M = {x ∈ ℕ | 100 < x < 200 ∧ x mod 3 = 0}

|M| = 33, da 100/3 = 33,3333... (nur natürliche Zahlen gesucht)

"Bestimme die Mächtigkeit der Menge der Zahlen zwischen 100 und 200 die durch 5 Teilbar sind."

N = {x ∈ ℕ | 100 < x < 200 ∧ x mod 5 = 0}

|N| = 20, da 100/5 = 20

"Bestimme die Mächtigkeit der Menge der Zahlen die in beiden obigen Mengen enthalten sind (Schnittmenge)."

Die Mächtigkeit ist nicht 20+33, da es Zahlen gibt, die sowohl durch 3, als auch durch 5 teilbar sind.

Davon gibt es sieben Stück.

Also:

|M ∪ N| = 20 + 33 - 7 = 46

"Addiere die Mächtigkeit der beiden Mengen und ziehe die Mächtigkeit der Schnittmenge ab."

|M| + |N| - |M ∪ N| = 20 + 33 – 46 = 7

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach. 

LG Willibergi 

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Kommentar von Mikkey
31.07.2016, 19:11

N = {x ∈ ℕ | 100 < x < 200 ∧ x mod 5 = 0}

|N| = 20, da 100/5 = 20

Also ich komme bei dieser Anzahl lediglich auf 19

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Kommentar von DrEGZo
31.07.2016, 19:15

Bei "zwischen 100 und 200" muss man sich jetzt auch fragen, ob man den "Rand" (also 100 und 200) dazu zählt.

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Kommentar von Willibergi
31.07.2016, 19:21

Ich sehe gerade, dass ich die Aufgaben etwas abwegs der Aufgabenstellung beantwortet habe. ^^

Sei's drum. 

LG Willibergi 

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Kommentar von Geograph
31.07.2016, 19:43

Danke Dir!

Also ich hätte die Aufgabe 
Wie viele Zahlen zwischen 100 und 200 sind durch 3
oder 5 teilbar?“

so gerechnet: 
durch 3 teilbar: 98/3 = 33,…
durch 5 teilbar: 98/5 = 19,…
durch 3 und 5 , also durch 15 teilbar: 98/15 = 7,…

Ergebnis 33 + 19 – 7 =  46

Ich gehe davon aus, dass „zwischen 100 und 200“ die 100 und
die 200 ausschließt?

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Ein ganz anderes Beispiel möchte ich hier noch zu Disskussion stellen

In https://www.spin.de/forum/643/-/2c23 finde ich die Ausführung:

"in der Zermelo-Fraenkel'schen Mengenlehre werden Mengen die sich selbst enthalten (und diverse andere pathologische Fälle) durch das
Fundierungsaxiom verboten. In der Standardmengenlehre ist also in der
Tat die Klasse der Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten,
identisch mit der Klasse aller Mengen.
Um die Gefahr von Paradoxien bei einer schlechten Formalisierung der Mengenlehre zu zeigen, ist die Russel-Klasse trotzdem in gewisser Weise besser geeignet als die Allklasse. Das liegt daran, dass man, um zu zeigen, dass die Allklasse keine Menge sein kann, tatsächlich (ein bisschen) Mengenlehre benötigt (man kann zum Beispiel das Fundierungsaxiom verwenden ;) ), während die Russel-Antinomie im Grunde direkt auf Prädikatenlogik erster Stufe aufsetzt: wenn ich eine zweistellige Relation P habe, und frage, ob wohl ein Element a existiert mit für alle x (P(a,x) genau dann wenn nicht P(x,x)), dann lautet die Antwort stets nein."

Kann man das verstehen?

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Kommentar von DrEGZo
31.07.2016, 19:13

Da muss ich jetzt tatsächlich passen, da ich nicht Mathematik studiert habe, sondern nur über die Grundkenntnisse aus der Schule verfüge. 

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"Die Menge der Zahlen zwischen 100 und 200 die durch 3 Teilbar sind"

Die Menge bezeichnet ja alle Zahlen zw. 100 und 200, die durch 3 teilbar sind. Und die Mächtigkeit der Menge beschreibt, WIEVIELE Zahlen dazu gehören.

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In deinem zweiten Kommentar fragst du, bringt es überhaupt etwas, explizit zu sagen, dass es es sich bei endlichen Mengen um Mengen handelt?

    Die ganzen Komplikationen kommen erst mit dem Unendlichen. Denk an die Russellsche Antinomie; die " Menge aller Mengen " gibt es nicht; ja nicht  einmal die Menge aller Gruppen bzw. die Menge aller Vektorräume.

   Dagegen wenn du endlich viele Dinge zu einer Menge zusammen fasst, gibt es nie Probleme; explizit zu sagen, dies ist eine Menge, bringt niicht wirklich etwas ein.

   Die natürlichen Zahlen sind ja gleichzeitig die Kardinalzahlen endlicher Mengen. Was diesen Blut leeren Katederprofs vorschwebt, haben die Kinder nämlich bereits vor der Einschulung vollzogen.

   Seit Piaget wissen wir nämlich, dass 3-jährige Kinder intuitiv glauben, zehn Klicker ( wie mir Frankfotter zu Murmele saache ) mehr werden, wenn du sie über eine größere Fläche verteilst. Piaget sagt, erst wenn Kinder begreifen, dass diese Anzahl eine Invariante ist unabhängig von der Anordnung der Klicker, hat es überhaupt einen Sinn, ihnen das Rechnen beizubringen. Piaget sagt also: Tief in ihrem Freudschen Unterbewusstsein bilden die Kinder die Begriffe " Menge " und " Kardinalzahl " Das heißt aber gerade nicht, dass man ihnen diese Konzepte bewusst machen kann oder soll.

     Etwas Analoges hast du ja in der Tiefengrammatik von ===> Noam Chomsky; ich kloppe mich mit einem 4-jährigen Jungen

    " Ergib dich. "

     " Was heißt ' sich ergeben ' ? "

    Analysieren Sie das mal, Herr Lehrer.  Offensichtlich " weiß " der Junge, dass man Verben nur in der lexikalischen Form ( Infinitiv ) erfragen darf. Diese Form hat er aber noch nie gehört - sonst brauchte er ja nicht fragen. Richtig erkennt er den ablautenden Imperativ so wie die reflexive Zusammensetzung. Du kannst ihm aber nicht beibringen, was starke reflexive Verben sind; die meisten Leute können zwar richtig sprechen, haben aber einen absoluten Horror vor Grammatikunterricht.

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  Auf deinen Kommentar antworte ich dir wie folgt: Ich will mich einmal outen; ich bin Jahrgang 51. Geistig normale Eltern können ihren Sprösslingen in Kl. 1 bei den Hausaufgaben helfen.

  MEINE Mutter kontrollierte meine Rechenaufgaben noch bis in Kl. 7 . n meinen Lehrplänen spielte diese Mengenlehre selbst bis zum Abi keine Rolle.

   Als sie dann eingeführt wurde, waren in den Tageszeitungen Anzeigen besorgter Eltern zu lesen; Mengenlehre, hey was ist das? Wir brauchen Nachhilfe, weil wir unseren Kindern das nicht erklären könen ... Eine der Kapazitäten auf dem Gebiet der Algebra, ===> Lothar Gerritzen, hat sich in seinen Vorlesungen auch immer über " Mengenlehre für Knirpse " lustig gemacht ...

   Ich selbst besitze nämlich praktische Erfahrung mit Vorschulkindern; von denen ihrem Denken entwarf ich ein teoretisches Modell, das sich nachher  als richtig heraus stellte. Als Erstes frage ich immer; wie weit kannst du schon  zählen? Und dann antworte ich

  " Du wirst staunen; aber die Zahlen hat nicht der liebe Gott gemacht, sondern wir Menschen. Es heißt doch

     21 , 22 , 23 , 24 ...

     31 , 32 , 33 , 34 ...

     41 , 42 , 43 , 44 ...

     diese Zahlen benennt man so, damit man sich das System leichter merken kann. "

   Dann gucken mich die Kleinen immer ganz erstaunt aus ihren Knopfäugelchen an ...

    Was ja völlig kontra-intuitiv ist, ist dieses indisch-arabische Dezimalsystem mit der Null. Hier gilt es, eine " autistische " Klippe zu überwinden - die Kinder sollen etwas anwenden, was man ihnen nicht begründen kann, weil sie noch zu jung sind. Die geplagten Lehrer wissen ein Lied davon zu singen. Ich sage den Kindern

  " Die Null bedeutet nichts; 3 + 4 = 7 . 30 + 40 = 70 . 300 + 400 = 700

  3 000 + 4 000 = 7 000 "

   Fas-sungs-loo-ses Unverständnis ...

   Und da willst du kommen mit deiner Mengenlehre ...

   Unter Brüdern; dein Typ Aufgaben fällt teoretisch unter " aritmetische Folgen " Jetzt versuch aber bitte nicht, einem Kind zu erklären, was das ist ...

   Du weißt doch: Gauß hat es mit 6 auch so geschafft. Der hat übrigens mit 3 seinem Vater im Bergbau schon die ganzen Lohnabrechnungen abgewickelt ...

    Schon mal von ===> Jean Piaget gehört? Wenn nicht, bist du echt auf dem falschen Dampfer. Mach dich mal schlau über dem seine Experimente, wie man Kindern Mattetik erklärt.

   Dein Problem verstehe ich schon. An sich bist du dazu da, Kinder zu unterrichten. Aber deine Welt fremden Profs wollen, dass du ihnen nach dem Munde redest ...

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Kommentar von Geograph
02.08.2016, 12:51

Hallo Gilgamesch4711,
ich weiß nicht genau, auf welchen meiner Kommentare sich Deine Antwort bezieht? Aber ich darf Dich beruhigen, ich bin 7 Jahre älter als Du und brauche meinen Kindern  keine Mathe mehr zu erklären ;-)

Ich bin durch die Frage hier in GF auf das Thema gestoßen (worden) und es hat mich einfach interessiert, etwas darüber zu erfahren, insbesondere ob und wie die Mengenlehre in der Schule zum besseren Verständnis der Schüler für Mathematik beitragen kann.

Mein Fazit, bis eines Besseren belehrt werde, ist, dass außer der Kreation neuer Begriffe und Rechensymbole sich keine wirklichen Vorteile ergeben.

Dazu nochmals meine Frage (die ich als Kommentar auf DrEGZo Antwort weiter oben bereits gestellt habe):

Die Schritte zur Lösung der Aufgabe

„Wie viele Zahlen zwischen 100 und 200 sind durch 3 oder 5 teilbar?“

waren ja:

„Bestimme die Mächtigkeit der Menge der Zahlen zwischen 100 und 200 die durch 3 Teilbar sind.“
und
"Bestimme die Mächtigkeit der Menge der Zahlen zwischen 100 und 200 die durch 5 Teilbar sind."

Ich habe die Mächtigkeit der beiden Mengen bestimmt und aufgeschrieben:
M1 = {102, 105, 108, … , 195, 198}
und
M2 = {105, 110, 115, …, 190, 195}

Jetzt soll ich „die Mächtigkeit der Menge der Zahlen bestimmen,
die in beiden obigen Mengen enthalten sind (Schnittmenge)
.“

Wie mache ich das konkret mittels Mengenlehre??

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  Mathelounge ist ein ziemlich gef ickter Schuppen; die haben mich längst deaktiviert, weil sie raus gekriegt haben, dass ich Lösungsstrategien entdeckt habe, die in der offiziellen Literatur nicht vorkommen.

   Wer von mir abschreibt, fällt auf, weil doch der Lehrer merkt, dass die Aufgaben im Internet abgeschrieben wurden.

   Und jetzt zu deiner Frage; die Mengenlehre wurde NICHT erfunden zur Beschreibung endlicher Mengen; da sind ihre Aussagen trivial, wie du sehr richtig bemerkst ( sagte mein hoch verehrter Prof übrigens auch. )

  Es wird überhaupt erst dann spannend, wenn eine Menge unendliche Kardinalität ( Mächtigkeit ) hat.

   Wenn du Lust hast, können wir uns bissele darüber unterhalten.

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Kommentar von Geograph
31.07.2016, 22:08

Vielen Dank für Dein Angebot, aber mein Interesse ist momentan darauf beschränkt, zu verstehen, welche Vorteile die Mengenlehre für Grundschüler hat.

Dass im Studium der Mathematik Fragen auftreten, bei deren Lösung die Mengenlehre hilfreich sein kann, ist mir bewusst.

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  Mir fällt da noch etwas ein; Zauberer und ihre Schmuddeltricks mochte ich noch nie. Deine Frage ist ganz klar eine Aufgabe, die souveräne Beherrschung von ( linearen ) Unbekannten aus Kl. 8 voraus setzt; für Niveau Grundschule ist sie nämlich völlig ungeeignet. Die Formel für aritmetische Folge ( AF )

   a ( n ) = a1 + ( n - 1 ) d      ( 1 )

   Jetzt mag man einwenden, AF kommen erst in Kl. 11. Ich sehe da keine grundsätzlichen Schwierigkeiten, es ad hoc einmal früher zu versuchen.

    Für die Anzahl der durch 3 teilbaren Zahlen ist a1 die kleinste durch 3 teilbare Zahl > = 100 , das wäre a1 = 102 , d = 3 . n ist die Unbekannte, und a ( n ) = 200

      102 + 3 ( n - 1 ) = 200  |  - 102   ( 2a )

      3 ( n - 1 ) = 98   ( 2b )

      n muss aber ganzzahlig heraus kommen; 98 ist zu ersetzen durch die größte durch 3 teilbare Zahl < 98

       3 ( n - 1 ) = 96  |  : 3    ( 2c )

            n - 1 = 32  |  + 1    ( 2d )

            n = 33

     Aus gegebenem Anlass wiederhole ich die Rechnung für d = 5 .

      100 + 5 ( n - 1 ) = 200  |  : 5    ( 3a )

    Bei mir würde es ja Strafpunkte hageln ohne Ende.

    KÜRZEN IST WICHTIGER ALS SORTIEREN .

     MEINER Klasse würde ich nicht durch gehen lassen, dass die sich mit großen Zahlen schleppen.

      20 + n - 1 = 40  ===> n = 21    ( 3b )

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