Neue Algebra durch Tetration?

...komplette Frage anzeigen

4 Antworten

1)

Die Gleichung x^x = z hat die Lösung

x = ln(z) / W(ln(z)) = exp ( W(ln(z) )

wobei W() für die "Lambertsche Funktion" steht.

Im komplexen Zahlenraum (z = i) gilt

ln(i) = i * pi / 2

also

x = exp ( W( i * pi / 2 ) )

bzw. allgemein

x = exp ( W( i * pi / 2 + i * 2 * pi * n ) ), n = 0,1,2,...

man braucht also die Quaternionen nicht zu bemühen.

2)

Jedoch ergibt eine komplexe Zahl hoch eine komplexe Zahl auch eine reelle Zahl. Somit kann x nicht komplex sein.

Diese Behauptung ist falsch. Eine komplexe Zahl hoch eine komplexe Zahl kann eine relle Zahl sein, muss aber nicht.

Dafür brauchst Du keine neue Algebra. Gib "x^x=i" einfach mal bei Wolfram Alpha ein - da bekommst Du Lösungen ausgegeben wie

 x=e^(ProductLog((i π)/2 + 2 i n π))

http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5Ex%3Di

Badaboombaam 12.08.2017, 10:06

Danke! Kann man das auch irgendwie in der Form a + bi schreiben? (Ohne Sinus und Cosinus bitte!)

0
zalto 12.08.2017, 10:27
@Badaboombaam

Nunja, du kannst Dir ein n aussuchen, z.B. n=1

e^(ProductLog((i π)/2 + 2 i π))

und das dann als ungefähren Zahlenwert ausgeben.

x = 2.43867 + 3.67434i

Zur Probe einfach x^x wieder in Wolfram Alpha eingeben - da kommt dann i heraus.

1

http://www.wolframalpha.com/input/?i=i%5Ei

Würde es einer neuen Algebra bedürfen, könnte Wofram es nicht mit bekannten Methoden ausrechnen.

Badaboombaam 12.08.2017, 10:05

Ich meine nicht i^i, sondern x^x=i.

0
Volens 12.08.2017, 10:26
@Badaboombaam

Pardon. Aber das könnte ich auch nur bei Wolfram eingeben.
Und das ist ja schon gemacht worden.

2

Eine komplexe Zahl hoch eine komplexe Zahl ist nicht eindeutig definiert. Selbst wenn, ob eine Algebra existiert, in der diese Gleichung lösbar ist (obwohl x^x nichtmals definiert ist), müsste immer noch gezeigt werden.

Badaboombaam 12.08.2017, 09:44

Du meinst, ob sie funktionieren würde. Man kann ja nicht einfach sagen "es gibt sie nicht". Außerdem ist sie in gewissem Sinne sogar nötig. Sonst kann man die Gleichung x ^ x = i ja nicht lösen. In gewissem Sinne MUSS sie ja dadurch sogar existieren.

Außerdem, ist das potenzieren von komplexen Zahlen nicht mit Eulers Formel lösbar?

z. B. i ^ i kann ja auch als 

(e ^ pi * i / 2) ^ i = e ^ pi * i * i / 2 = e ^ -pi / 2 = 1 / e ^ pi / 2 

= 1 / sqrt(e ^ pi)

Hier ein Video: https://www.youtube.com/watch?v=ABk1HK2AR2E

0

Was möchtest Du wissen?