Nebenklasse einer Untergruppe, wie?

1 Antwort

Was meinst du denn mit "Einheitengruppe für das Element 5"? Die Einheitengruppe ist die Gruppe aller multiplikativ invertierbaren Elemente in einem Ring.

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Masterabschluss Theoretische Physik

Pardon: meinte Untergruppe, die von dem Element 5 erzeugt wird und daraus dann die Nebenklassen erstellen

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@computerfan001

Ah! Dann nimmst du einfach alle Vielfache von 5 (jeweils mod 12), also:

5, 10, 15=3, 8, 12=0

Also ist <5> = {0, 3, 5, 8, 10}.

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@PhotonX

Schon klar, meine Frage ist ob meine Lösung oben richtig ist. Und wie man Nebenklassen für eine Untergruppe erzeugt, die schon komplett alle Elemente enthält

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@computerfan001

Ah ja, ich hab mich verrechnet, 8+5 ist 13 und nicht 12. :D

Dann ist tatsächlich <5> = Z12, also die ganze Gruppe. Jede Nebenklasse von <5> ist wieder <5>.

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@PhotonX

Das ist genau dann der Fall, wenn die Erzeugende der Untergruppe Einheit ist.

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@PWolff

Sagen wir, es ist genau dann der Fall, wenn die Erzeugende der Untergruppe volle Ordnung hat. Einheiten sind ja erst in einem Ring definiert, wir betrachten hier Z12 aber lediglich als additive Gruppe.

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@PhotonX

Wenn ein einzelnes Element die ganze Gruppe erzeugen kann, haben wir (nach Definition) eine zyklische Gruppe. Eine zyklische Gruppe ist isomorph entweder einer Restklassengruppe oder der additiven Gruppe der ganzen Zahlen. Damit lässt sich eine zyklische Gruppe auf einfache Weise zu einem Ring mit Eins erweitern - wir nehmen eins der erzeugenden Elemente als Einselement, der Rest ergibt sich.

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