N-te potenz einer matrix?

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2 Antworten

Sei nun eine Matrix A aus IR^(nxn) gegeben. Sie sei diagonalisierbar mit EW k(i) und EV v(i). Wir können sie also schreiben als:

A = S^-1*D*S

S Transformationsmatrix, D Diagonalmatrix

Es folgt damit für die n-te Potenz von A, n aus IN\\\\\\\\{0}:

A^n = (S^-1*D*S)*...*(S^-1*D*S)  (n-mal)

Durch Umklammern, unter Anwendung des Assoziativgesetzes:

--> A^n = (S^-1)*D*(S*S^-1)*D*(S*S^-1)*D*...*(S*S^-1)*D*(S)

und mit  S*S^-1 = 1

--> A^n = (S^-1)*D*...*D*(S) = (S^-1)*D^n*(S)

Dieser Umstand ist einer der Hauptgründe wieso man sich überhaupt so sehr für die Diagonalisierung einer Matrix interessiert, er wird dann noch erweitert bzw. ergänzt durch die Hauptachsentransformation.

https://de.wikipedia.org/wiki/Diagonalisierbare_Matrix

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wenn die eigenvektoren alle linear unabängig sind dann ist es simpel, einfach nur zuerst diagonalisieren.....

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Kommentar von tinebea
08.08.2017, 21:17

okay, wende ich die formel A^n = P  *D^n*  P^T

aber wie mache ich die diagonalmatrix hoch n? also schreibe an die diagonale immer eine hoch n dran und multiplizere , das war und erhalte dann zb als eine 2x2 matrix (2^n,3)^T , (3,8^n)T

das wars oder hbe ich etwas falsches geschrieben?

danke für deine zeit

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