Muss ich bei dieser Aufgabe ein Taylorpolynom berechnen?

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4 Antworten

  Ich werd nochmal wahnsinnig; wenn man nur eine Zeile zu viel schreibt, stürzt dieser Editor ab. Warum nehmen die nicht endlich diese gefic kte Abfrage raus?

  Kannst du ===> Funktionenteorie ( FT )?  Bei uns in Frankfurt im
Vordiplom bekamst du eine Note besser, als du verdienst, wenn du dich
freiwillig für FT meldest. JHier kennste  den?

  " Die komplexe Ebene ist nach wie vor der kürzeste Umweg zur reellenA nalysis. "

  
Im Reellen braucht eine Funktion keine 2. Ableitung besitzen. Selbst
dann nicht, wenn ihre erste Ableitung auf ganz |R stetig ist. Und selbst
wenn sie unendlich oft differenzierbar ist, braucht ihre Taylorreihe
nicht existieren ( sog. analytische oder holomorphe Funktion. ) Mit
einem Verfahren ganz ähnlich dem, das ich unten beschreiben werde,
kannst du dich überzeugen, dass in x0 = 0 sämtliche Ableitungen
verschwinden von

   f  (  x  )  :=  exp  (  -  1 / x )     (  1  )

   Würde die Taylorreihe um x0 = 0 existieren, so wäre sie ja identisch mit der Nullfunktion; Widerspruch.

  
Dagegen im Komplexen reicht die bloße EXISTENZ der ersten ableitung;
ihre Stetigkeit kriegst du frei Haus. Aus der ersten Ableitung folgt
schon die Taylorreihe.

   Jetzt ist hier nach dem Zauberkreis - äh
===> Konvergenzkreis ( KG ) gefragt. Naa; hast du auch brav deine FT
gelernt? Der Konvergenzradius ( KR ) erstreckt sich immer bis zur
nächst gelegenen Singularität; Funktionen ohne kritische Stellen heißen
===> ganze Funktionen.

   Der Nenner wird Null für x ( p )  =
2/3 ; gemessen von dem Entwicklungspunkt x0 = 1 aus ist dies ein nicht
gerade berauschender Radius von R = 1/3 . Im ===> INNEENGEBIET (
===> Topologie ) konvergiert die Reihe ABSOLUT <===> unbedingt;
außerhalb divergiert sie . Und auf dem Rande? Aktion Köpenigk

   " Is sich verschieden, Herr Direktor. "

  
Aber selbst wenn auf dem Rand Konvergenz vorliegen sollte. Absolut kann
sie nie sein, da ja aus der absoluten Konvergenz die gewöhnliche folgen
würde überall auf dem Kreisrand, mithin auch an der singulären Stelle.

   Ich schick jetzt erst mal ab, da dieser Editor so instabil ist. Und dann machen wir die ganzen Ableitungen.

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Kommentar von gilgamesch4711
19.02.2017, 21:48

   Die n-te Ableitung deiner Funktion lautet

  ( d/dx ) ^ n  f  (  x  )  =  (  -  )  ^  n  *  3 ^ n  n  !  /  (  3  x  -  2 ) ^ (  n  +  1  )   (  2.1 )

   ( d/dx ) ^ n  f  (  1  )  =  (  -  )  ^  n  *  3 ^ n  n  !      (  2.2  )

    a  (  n  )  =  (  -  )  ^  n  *  3 ^ n      (  2.3  )

 s  (  n  )  =  SUMME  (  -  )  ^  n  *  3 ^  n  (  x  -  1  )  ^  n    (  2.4  )


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Du berechnest das Taylorpolynom n-ten Grades, und betrachtest den Grenzwert von n gegen unendlich.
Du musst dazu die n-te Ableitung der Funktion an der Stelle 1 bestimmen.

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Gesucht ist nicht nur ein Polynom, sondern eine (unendliche) Reihe.

Um diese aufzustellen, kannst du mittels Differentialrechnung vorgehen (Taylorreihe) oder aber dein Wissen über geometrische Reihen einbringen und die Aufgabe algebraisch (ohne Ableitungen !) lösen.

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Das Taylorpolynom hat alle Potenzen von (x-1).

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Kommentar von rumar
19.02.2017, 19:18

Die Taylorreihe umfasst alle Potenzen (unendlich viele Glieder). Ein Taylorpolynom ist nur ein endliches Anfangsstück der Taylorreihe und hat ein letztes Glied, dessen Exponent der Grad des Polynoms ist.

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