Murmel Glas mit Wasser füllen?

 - (Mathematik, Kreis, berechnen)

2 Antworten

In 2D ist das Problem noch relativ einfach, in 3D aber höhere Mathematik. Als Einstieg daher:

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Dichteste_Kugelpackung

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Theorie_der_endlichen_Kugelpackungen

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Behälterproblem

Falls dein Gehirn sich jetzt noch nicht verknotet hat (das wäre dann ein anderer Zweig der höheren Mathematik, nämlich die Knotentheorie) folgt nun der Lösungsansatz:

- Zur Vereinfachung nehmen wir an, daß Glas wäre würfelförmig mit einer Kantenlänge von 1m und somit einem Volumen von 1m^3.

- Eine Kugel mit einem Durchmesser von 1m (dein blauer Kreis) passt also genau ins Glas und verdrängt

V = 4/3 * (0,5m)^3 * Pi = 0,5236m^3

oder 52,36% des Glasvolumens.

Ersetzen wir jetzt die Kugel durch kleinere Kugeln mit halbem Durchmesser 0,5m, dann passen auf den ersten Blick 8 Kugeln ins Glas:

V = 8 * 4/3 * (0,25m)^3 * Pi = 0,5236m^3

Anscheinend also keine Verbesserung - bis man entdeckt, dass in den Hohlraum in der Mitte der 8 Kugeln eine weitere Kugel mit dem Durchmesser d = √(0,5^2 + 0,5^2 + 0,5^2) - 0,5 = 0,366m Platz findet.

Die 9. Kugel hat also ein Volumen von

V = 4/3 * (0,183m)^3 * Pi = 0,0257m^3

und erhöht so die Ausnutzung auf 52,36% + 2,57% = 54,93%.

Kleinere Kugeln erhöhen somit das ausgenutzte Volumen - es passt weniger Wasser ins Glas.

Noch dichter lassen sich Kugeln in dreieckiger Anordnung packen. Das rechne ich hier aber nicht vor, sondern nehme nur den Grenzwert aus Wikipedia Pi/3√2 = ~ 74%.

Unabhängig von der Größe der Murmeln passt also min. ~1/4 Wasser ins Glas.

Google nach archimedes

vielen Dank für den Tipp, aber die Lösung meines Problemes kann ich mir daher leider immer noch nicht herleiten :(

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@Martan12

Je größer die Murmel, desto mehr Wasser verdängt sie.

wenn du große und kleine Kugeln im Glas hast, gehen die kleinen Kugeln zwischen die großen, wodurch relativ wenig Platz verbracht wird.

um so wenig Wasser wie möglich im Glas zu haben, gibt man kein Wasser ins Glas.

spaß beiseite, man nimmt zuerst so viele große Kugeln wie möglich, die man ins Wasser gibt. „Danach“ gibt man kleinere Kugeln in die Zwischenräume der großen, dann noch kleinere zwischen die Zwischenräume der kleineren etc, bis alles voll ist mit murmeln.

ist das nicht klar?

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@SacreVacheSacre

Alles klar 👌🏻

Wenn aber alle Kugeln exakt gleich groß sind ist die Antwort wieder gleichviel Wasser? :p

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