Multiplikation des total asymmetrischen Tensors dritter Stufe?

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2 Antworten

Das ist nur mit dem Summenzeichen korrekt, ansonsten wäre der Index j nur auf der linken Seite.

Die Überlegung ist hier einfach, wenn man den Trick kennt: Beiträge bekommst du nur dann, wenn i = l und k = m gilt, dann sind beide Levi-Civita-Symbole für ein bestimmtes j gerade 1. Wenn du bei einem Symbol die Indices jedoch anders herum hast, also i = m und k = l, dann ist das eine +1 und das andere –1.

Daraus ergibt sich dann die Formel mit den Kronecker-Symbolen.

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Doch die Aussage stimmt. Die Idee ist einfach, dass aufgrund der Invarianz des epsilon-Tensors unter Vertauschen von Indizes damit

eps_{ikj} eps{jlm} = eps{jik} eps{jlm}

und man nun betrachten kann, welche Moeglichkeiten es gibt. Nicht verschwindend ist nur, falls entweder die Indizes beider epsilon-Tensoren aufsteigen oder beider epsilon-Tensoren absteigen, das entspricht i=l,k=m. Die genauen Werte sind egal, da ja eh ueber j summiert wird und dann genau EIN Teilsummenbeitrag nicht verschwinden wird.

Steigt ein Index auf und der andere nicht kriegen wir ein Minus-Zeichen, das entspricht i=m,k=l.

Falls i=k=l=m faellt die rechte Seite mit den Kronecker-Deltas auch weg.

Ist nur eine Skizze wie der Beweis geht, aber die Idee wird hoffentlich klar.




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