Monotonie untersuchen?

...komplette Frage anzeigen

2 Antworten

Schau dir doch mal die Hoch- und Tiefpunkte an und dann siehst du, was davor und dahinter passiert. 

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung
  • monoton fallend: Eine Funktion oder ein bestimmtes Teilstück einer Funktion hat überall eine negative Steigung und kann an einzelnen Stellen waagrechte Tangenten aufweisen beziehungsweise Sattelpunkte haben. Eine Funktion mit Extrema hat - unter Betrachtung der Funktion in ganz ℝ - verloren.

  • streng monoton fallend: Eine Funktion oder ein bestimmtes Teilstück einer Funktion hat überall eine negative Steigung. Eine Funktion mit Sattelpunkten hat - unter Betrachtung der Funktion in ganz ℝ - schon verloren.
  • monoton steigend: Eine Funktion oder ein bestimmtes Teilstück einer Funktion hat überall eine positive Steigung und kann an einzelnen Stellen waagrechte Asymptoten aufweisen beziehungsweise Sattelpunkte haben. Eine Funktion mit Extrema hat - unter Betrachtung der Funktion in ganz ℝ - verloren.
  • streng monoton steigend: Eine Funktion oder ein bestimmtes Teilstück einer Funktion hat überall eine positive Steigung. Eine Funktion mit Sattelpunkten hat - unter Betrachtung der Funktion in ganz ℝ - bereits verloren.

Beispiel: Untersuche die Funktion f(x) = |x| + 2 partiell sowie in ganz ℝ auf ihre Monotonie.

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung
Mikkey 10.07.2016, 13:02

Tut mir leid, aber Deine Unterscheidung zwischen Monotonie und strenger Monotonie ist nicht richtig.

Die Definition zieht nicht die Ableitung heran, sondern definiert

a>b => f(a) >= f(b) für (einfach) monoton steigende Funktionen und

a>b => f(a) > f(b) für streng monoton steigende Funktionen.

Tatsächlich braucht eine monotone Funktion noch nicht einmal differenzierbar zu sein.

2
seifreundlich2 10.07.2016, 13:09
@Mikkey

Mag sein, dass die Definition die Monotonie anderweitig beschreibt. Die Definition ist sinngemäss dennoch gleichbedeutend mit meiner obigen Antwort.

0
Mikkey 10.07.2016, 14:38
@seifreundlich2

Du kannst nicht einfach eine eigene Definition einführen.

Die Funktion x -> x³ ist streng monoton steigend, obwohl sie das wegen des Sattelpunkts nach Deiner Lesart nicht sein dürfte.

2
seifreundlich2 10.07.2016, 14:39
@Mikkey

Gut, nach diesem Beispiel sehe ich deinen Kommentar ein. Du hast recht, es ist nicht haargenau dasselbe. Mein Fehler.

Danke für deine Belehrung.

1
ralphdieter 10.07.2016, 14:46
@seifreundlich2

Ein Sattelpunkt ist kein Hindernis für strenge Monotonie. Zum Verletzen von f(a)>f(b) bräuchtest Du zwei verschiedene Punkte a, b mit f(a)=f(b), also ein ganzes Intervall (a, b) mit f '=0.

Ein Extremwert am Rand ist ebenfalls kein Hindernis für strenge Monotonie. Nur innere Extrema verhindern per Definition strenge Monotonie. Monoton kann die Funktion trotzdem sein.

Beispiele:

  • f(x)=x³ ist streng monoton und hat einen Sattelpunkt in (0,0).
  • f(x)=π ist monoton und hat ein Maximum bei (42,π).
0

Was möchtest Du wissen?