Monotonie bei an=4n/(2-3n)?

...komplette Frage anzeigen

5 Antworten

Überprüfe allgemein die Differenz zwischen zwei aufeinaderfolgenden Folgegliedern:

4(n+1)/(2-3(n+1)) - 4n/(2-3n)

(auf gleichen Nenner bringen, ausmultiplizieren und berechnen)

und du wirst feststellen, dass diese Differenz für alle n positiv ist.

Daraus folgt, dass jedes Folgeglied größer ist, als das vorangegangene -> monton steigend (sogar streng monoton)

Die Folge lässt sich umschreiben zu -4/3 - 8/3 • 1 / (3n-2)
Der Nenner zweiter Hand steigt mit steigendem n, damit wird der Bruch kleiner, und da ein Minus vor dem Bruch steht, ist die Folge streng monoton steigend.
Die Umformung bekommt man durch Polynomdivision hin

Ich nehme an, man kann sich das als Funktion vorstellen:

a(n)=4n/(2-3n)

a'(n) = die 1. Ableitung von a nach n: zeigt dir die Steigung der Funktion in jedem Punkt an

a'(n) = (4*2-4*3n-4n*(-3)) / (2-3n)^2 = 8 / (2-3n)^2
-> "8 / (2-3n)^2" ist positiv und nie Null

Sprungstelle bei "2-3n=0", also bei n=2/3 (da Nulldivision nicht definiert ist) -> "Unstetigkeitsstelle" 

-> Funktion ist in den Intervallen (-unendlich, 2/3) und (2/3, unendlich) streng monoton steigend.

gfntom 13.08.2016, 23:40

Ich nehme an, man kann sich das als Funktion vorstellen

Nur bedingt. Es intessieren nur die ganzahligen n. Was bei einer Funktion zwischen diesen Stützstellen passiert, ist irrelevant.

Es stimmt natürlich, dass eine durchgehend positive 1. Ableitung der "Ersatzfunktion" bedeutet, dass auch die Folge monton steigt. Wenn jedoch die 1. Ableitung das Vorzeichen mehrmals wechselt, lässt dies so noch keinen Schluss über die Monotonie der Folge zu.

0
Australia23 13.08.2016, 23:49
@gfntom

Stimmt, das hab ich übersehen, danke!

In diesem Fall klappt es hier dank der von n unabhängigen Ableitung, aber man kann die Sprungstelle bei n=2/3 "ignorieren", da diese Wert nicht ganzzahlig ist.

Also wäre die Zahlenfolge streng monoton steigend.

0

  Polstelle ist x0 = 2/3 . Du hast völlig Recht; wir setzen die Zuordnungsvorschrift fort von |N auf |R . Um die erste Ableitung zu bilden, empfiehlt sich aber Polynomdivision:

     f ( x ) = x / ( - 3 x + 2 ) =     ( 1a )

    = - 1/3 + 2 / 3 ( 2 - 3 x ) =     ( 1b )

      = - 1/3 - 2 / 3 ( 3 x - 2 )     ( 1c )

   Was haben wir in ( 1c ) ? eine ===> Hyperbel; das Residuum ( - 2/3 ) ist negativ. Näherst du dich dem Pol von Rechts, haut sie ab nach ( - °° ) Für x ===> ( + °° ) hast du als Asymptote ( - 1/3 ) Die Hyperbel steigt demnach monoton; ihre Werte sind aber sämtlich negativ.

   wäre toll, wenn du dein Wissen über Hyperbeln aktualisieren könntest; zeichne sie ruhig mal raus.

   einzig der Punkt n = 0 fällt etwas aus dem Rahmen; hier " springt " sie und ist nicht monoton.

wenn du das nur überprüfen sollst und nicht beweisen sollst,

setzt du für n dann 1 und 2 und 3 ein und guckst, ob steigend oder fallend;

n=1 dann 4/(2-3) = -4

n=2 dann 8/(2-6) = -2

n=3 dann 12/(2-9) = -1,71

also monoton steigend


Stiehlerismus 13.08.2016, 23:01

Ich habe gerade erfahren, dass wir es doch beweisen müssen:/

0
Ellejolka 13.08.2016, 23:15
@Stiehlerismus

dann habt ihr das sicher auch im Unterricht behandelt;

da du jetzt weißt, dass sie steigend ist, musst du zeigen,

dass 4n/(2-3n) < 4(n+1)/(2-3(n+1)) ist;

und das ist ziemlich kompliziert wegen Fallunterscheidung.

1
Australia23 13.08.2016, 23:19
@Ellejolka

Wenn sie Ableitungen schon behandelt haben, kann man die Zahlenfolge doch einfach als Funktion betrachten und ableiten...?

0
Ellejolka 13.08.2016, 23:27
@Australia23

ja, denk ich schon; das musst du dann der Fragestellerin mal erklären; ☺

0
gfntom 14.08.2016, 00:11
@Ellejolka

Naja, wirklich kompliziert ist es nicht.

Wenn man das Ganze umstellt und die Differenz zwischen zwei Folgegliedern berechnet:

4(n+1)/(2-3(n+1)) - 4n/(2-3n)

stellt man sehr einfach fest, dass diese Differenz für alle n positiv ist, sprich: die obige Ungleichung immer erfüllt ist.

0

Was möchtest Du wissen?