Monomordnung?

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1 Antwort

Beachte, dass die Monome des k[x,y] isomorph zum N² sind, wobei N die natürlichen Zahlen (mit 0) sind. Der Isomorphismus ist gegeben durch 

(a,b) ~> x^a * y^b.

Insbesondere genügt es, Ordnungen auf dem N² zu betrachten, die die entsprechenden Eigenschaften erfüllen.

Sei jetzt t eine transzendente Zahl (d.h. es gibt kein Polynom P mit rationalen Koeffizienten, sodass P(t) = 0 ist). Sei T der Vektor (1, t) des R². 

Seien nun A, B Elemente von N². Wir definieren:

A < B genau dann, wenn A * T < B * T (Skalarprodukt).

Man kann zeigen, dass dies in der Tat eine Monomordnung ist.

Ferner kann man zeigen, dass auf diese Weise für unterschiedliche transzendente Zahlen unterschiedliche Ordnungen entstehen. 

Da es aber unendlich viele transzendente Zahlen in R gibt, gibt es auch unendlich viele Monomordnungen.

Hey super und vielen Dank für die hilfreiche und ausführliche Erklärung!!!

Warum benutzt du das t eine transzendete Zahl ist, würde das ganze nicht auch schon mit t aus |N funktionieren?

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@Palindrom112

Ich bin mir unsicher, ob das genügt. Die Transzendenz wird meines Wissens genutzt, um zu zeigen, dass unterschiedliche Zahlen auch unterschiedliche Ordnungen induzieren. Ich müsste mich näher damit befassen um zu prüfen, ob das auch für beliebige Zahlen funktioniert.

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@Melvissimo

Ich denke der Knackpunkt ist ,dass für n aus |N die Anforderung der Totalität an die Ordnung nicht gegeben ist(Notwendige Voraussetzung einer linearen Ordnung), da

(0,1)*T = (n,0)*T.

Was dann die Frage aufwirft ob t irrational genügt^^

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@Palindrom112

So, ich habs nochmal durchgerechnet.

Tatsächlich braucht man keine Voraussetzung an t, um zu zeigen, dass die Ordnungen paarweise verschieden sind.

Um zu zeigen, dass es sich um eine Monomordnung handelt, braucht man (meines Erachtens) tatsächlich nur, dass 1 und t linear unabhängig über den rationalen Zahlen sind. D.h. Irrationalität sollte wirklich ausreichen.

Ich glaube, die Transzendenz braucht man eher, wenn man den Beweis auf k[X1, ..., Xn] verallgemeinert. Da benutzt man nämlich den Vektor (1, t, t², ..., t^(n-1)). Wenn t nur irrational ist, könnten sich dabei aber rationale Zahlen als Komponenten zwischenschummeln (siehe etwa t = sqrt(2)).

Gut, dass du nachgehakt hast; wieder was gelernt ;)

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