Mond fällt auf die Erde, wie schnell?

2 Antworten

Ich weiß nicht, ob das so richtig ist (bin dann ausgegangen, dass sich die Kerne und nicht die Oberflächen treffen)

t(y) = pi/2 × Wurzel(s^3/2G(mE+mM))
t(y) = 423.060,5 s ~ 4d 21h 31min

(Englische Wikipedia, "Free Fall")

Dann habe ich die relative Durchschnittsgeschwindigkeit zueinander ermittelt (ist bei beiden gleich):

vD = s/t = 898,22 m/s

Danach habe ich spekuliert. Ich habe die Durchschnittsgeschwindigkeiten der Erde und des Mondes berechnet, indem ich die jeweils entgegengesetzte Masse durch die Gesamtmasse geteilt habe und das dann mit der relativen Geschwindigkeit zueinander multipliziert:

vD,M = mE/(mE+mM) × vD = 886,931 m/s
vD,E = vD - vD,M = 11,289 m/s

Als Nächstes habe ich damit die von der Erde und dem Mond zurückgelegte Strecke berechnet:

sE = t × vD,E = 4.775.929,985 m
sM = s - sE = 379.224.071,015 m

In nächsten Schritt habe ich die Durchschnittsgeschwindigkeiten durch die benötigte Zeit gerechnet:

gE = vD,E/t = 0,0000026684 m/s^2
gM = vD,M/t = 0,0020964637 m/s^2

Zum Schluss habe ich noch eine Formel benutzt, um die maximalen Geschwindigkeiten zu berechnen:

vE,max = wurzel(2×0,0000026684×4.775.928,985) = 12,744 m/s

vM,max = Wurzel(2×0,0020964637×379.224.071,015) = 1.260,975 m/s

Ist aber ohne Garantie. :)

Ich weiß zwar nicht , woher du die Formel für die Zeit hast, aber es kommt dem exakten Wert nahe (ca 1,6%)
Die maximalen Geschwindigkeiten sind um den Faktor 8-10 falsch.
Sie liegen ja auch "nahe" an deinen Durchschnittsgeschwindigkeiten,
was hier nicht sein kann.
Der Weg der Erde liegt auch in der Nähe des richtigen Wertes.
Ich werde die exakten Werte bald "offenbaren".

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Die Formel der Zeit ist von der englischen Wikipedia (unter Free Fall) und ich habe ja auch berechnet, wann sich die Kerne, nicht die Oberflächen treffen.

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@jf20011

Du hast dich nur einfach verrechnet. Ich habe es mit der Formel und meiner "Berechnung" nachgeprüft, die Formel ist exakt !

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Ich habe mir ein kleines Programm geschrieben mit welchem ich variabel alle Parameter eingeben kann auch Anfangsgeschwindigkeiten der Objekte und den "Zielpunkt", also einen beliebigen Punkt auf dem Weg.
Wie schon gesagt, wird deine Formel für t exakt bestätigt mit deinen Annahmen. Für die Geschwindigkeiten wird es wohl keine expliziten Formeln geben sonst hätte die Literatur etwas parat.  

Mit meinen Vorgaben sind die Ergebnisse wie folgt:

 ve=119,6m/s            se=4567850m        ge=0.0738m/s^2
vm=9723,5m/s        sm=371320000m   gm=5,995  m/s^2
                                 Zeit  t=415538s

wird die (nicht realistische) "Punktlandung" der Mittelpunkte gesucht dann ergibt sich

 ve=11023m/s           se=4666400m
vm=896080 m/s     
                                Zeit  t=416019s
Diese Zeit ergibt sich auch mit deiner Formel

Wie man sieht, nehmen die Objekte auf der "ignorierten" Distanz nochmal richtig Fahrt auf. Ist ja auch logisch, da die Beschleunigung
theoretisch gegen unendlich geht.
Man darf bei Beschleunigungsberechnungen wirklich bei den Vorgaben nicht vereinfachen.

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Die Beschleunigungen sind einfach: (Gravitationsgesetz)

a1=G m2 / r^2 und a2=G m1 / r^2

Zusammen

a = G ( m1 + m2 ) / r^2

Die Geschwindigkeit ist das Integral der Beschleunigung. Hier vom Abstand der Körper bis zur Summe der Radien - dann treffen sie sich ja.

Endgeschwindigkeit ist damit bestimmt.

Wie weit sich die Erde bewegt? Die Körper treffen sich im gemeinsamen Massenschwerpunkt. Und der ist 4700km vom Erdmittelpunkt entfernt.

Doch nicht ganz so einfach: Das Integral geht ja über die Zeit und nicht den Weg. Aber auf die Differentialgleichung habe ich gerade keine Lust noch vor dem Aufstehen :-)

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@segler1968

Man kann auch über den Weg integrieren, die Zeit ist ja noch nicht bekannt. Zu berücksichtigen ist, daß beide Körper sich bewegen.
Die Körper (Mittelpunkte) treffen sich im Abstand der Summe ihrer Radien.
Ja, es ist alles nicht ganz so einfach weshalb die "numerische" Integration sinnvoll ist, hier mit einem Computer-Programm.
Ich habe mir dazu eins geschrieben.

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