möchte freund schwere mathe aufgabe stellen

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6 Antworten

Ich habe das Ganze mal für einen Radius der Wiese von 5 m durchgerechnet. Das Resultat für andere Werte (z.B. r = 10 m) ergeben sich mit einer zentrischer Streckung, die das Verhältnis von Flächen zueinander unverändert lässt.


Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems ist der Pfahl am Rande des Kreises.

Der Kreis k1, innerhalb dessen sich die Ziege bewegen kann, hat die (Parameter-)Form

x = r cos φ, y = r sin φ,

wobei r die Länge des Seils, der Winkel φ ein (frei wählbarer) Parameter ist .

Der die Wiese begrenzende Kreis k2 hat die (Koordinaten-)Form

(x-5)² + y² = 25.

k2 hat die Fläche F1 = 25 π (m²), k1 die Fläche F2 = 25 π /2.

Seien P (r cos φ, r sin φ) und P' (r cos φ, -r sin φ) die Schnittpunkte von k1 und k2.

Dann ergibt Einsetzen von k1 in k2 ergibt unter Verwendung von cos²(φ) + sin²(φ) = 1 die Bedingung

cos φ = r / 10,

für die Fälle r = 10, r = 5 und r = 0 entspricht dies auch der geometrischen Anschauung (Plausibilitätskontrolle).

Für die (gemeinsame) x-Koordinate beider Punkte mit k1 also:

x = r² / 10


B. Die Gerade durch P und P' teilt die von der Ziege erreichbare Fläche in ein Segment von k1 und ein Segment von k2. Der Flächeninhalt eines Kreissegments ist (z.B. nach Wikipedia)

A = ρ² arccos(1 - h/ρ) - (ρ -h) √(2ρh -h²),

wobei ρ der Radius des betrachteten Kreises, h die Höhe des Segments ist. Herleitung dieser Formel geht mit Elementargeometrie.

Mit dem berechneten x-Wert der Schnittpunkte P1, P2 ist für k1:

ρ = r, h = r - r²/10;

Einsetzen in die Formel für das Kreissegment ergibt mit Umformung (nach Einsetzen in 2ρh -h² erlaubt Ausmultiplizieren eine erhebliche Vereinfachung):

A1 = r² arccos(r/10) - (r³/10) √(1 -r²/100)

Mit dem berechneten x-Wert der Schnittpunkte P1, P2 ist für k2:

ρ = 5, h = r²/10;

Einsetzen in die Formel für das Kreissegment ergibt nach Umformung:

A2 = 25 arccos(1 - r²/50) - (5r -r³/10) √(1 -r²/100)


C. Insgesamt ist nach r aufzulösen:

0 = A1 + A2 - F2

0 = + r² arccos(r/10) + 25 arccos(1 - r²/50) - 5r√(1 -r²/100) - 25 π/2

Mit >http://www.wolframalpha.com/ ergibt das:

r = 5,7936 (m) (letzte Stelle gerundet);

zu Grunde gelegt werden kann z.B. eine Näherungsverfahren nach Newton und Raphson (z.B. in der Wikipedia unter "Newton-Verfahren")


D. Plausibilitätskontrolle: Ist das Seil nur so lang wie der Radius der Wiese, so ist die für die Ziege erreichbare Fläche mit h = r/2 in der Formel für das Kreissegment nach Vereinfachung:

2A = r²(2 π /3 - (√ (3))/2 );

der Prozentsatz der erreichten Fläche ist dann

( r²(2 π /3 - (√ (3))/2 ) ) / ( r² π) =

2 /3 - (√ (3))/( 2π ) = 39,1%;

also muss für einen Prozentsatz von F2 = 50% * F1 das Seil deutlich länger sein.

Oder: Ein Mülleimer, der nach unten hin schmaler wird, wird auf dem Boden einen kompletten Kreis herumgedreht. Wie oft dreht sich der Mülleimer um sich selbst, um einen kompletten Kreis auf dem Boden zu umkreisen? Wir maßen: der Durchmesser d1 des unteren Kreises beträgt 10,3 cm, der Durchmesser d2 des oberen Kreises beträgt 13,9 cm und die Strecke s zwischen den beiden Kreisen beträgt 19,9 cm.

Das kann er nicht lösen. Ich kann dir die Lösung üer PN schicken...

  1. Ich würde als erstes die Gesamtfläche berechnen, das sind glaube ich 314.159m²
  2. Die teile ich durch 2 = 157.0795 benötigte Fläche.
  3. Und davon würde ich als 100% Fläche eines Kreises den Durchmesser wissen wollen = 14.142m

Kann stimmen muss aber nicht.

Gurß

psychironiker 03.07.2013, 09:31

Der Ansatz erfassst die Bedingung nicht, dass der Pfahl am Rand der Wiese stehen soll.

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"ich will einem Freund beweisen das er folgende aufgabe nicht lösen kann. aber vorher brauche ich die lösung mit formel bitte"
Also das ist schon ganz schön dreist:
Selbst keine Ahnung haben, aber vor einem Freund den großen Zampano spielen wollen! Schäm Dich!

Btw.
Wie Supoptimierer schon sagte, gibt es keine geschlossene Formel für die Lösung

psychironiker 03.07.2013, 09:28

...oder die große Zampana.

Gerade weil es keine geschlossene Formel gibt, soll sich doch durchkämpfen, wer mag. Konkurrenzwünsche können auch positive Effekte haben, und Mathe finde ich da eher harmlos.

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Bau einen Zaun genau in der Hälfte :D

Suboptimierer 02.07.2013, 14:40

Kreativ. So denkt der Pragmatiker.

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