Modulo Gleichung: ich kann aus dem Skript nicht verstehen wie der Vorgang abläuft...

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3 Antworten

Sorry, Frage heute erst gesehen.

Deine Lsg ist schon richtig, aber noch nicht vollständig. Du suchst die Menge aller Zahlen, für die 12k+3 durch 5 teilbar ist und bestimmst so durch die Menge der k auch die Menge der möglichen x.

Du hast die Gleichung 5x = 3 (mod 12) reduziert auf 12k + 3 = 0 (mod 5), mit x=(12k+3)/5. Diese Gleichung kannst du weiter umformen: 12k = -3 mod 5, bzw. (modulo 5 rechnen, 12 mod 5 ist 2, -3 mod 5 ist 2) 2k = 2 (mod 5). Jetzt kannst du wieder so lösen wie vorhin, also k = (5m+2)/2, bzw. 5m + 2 = 2 (mod 2). Jetzt modulo zwei kürzen zu m+0 = 0 (mod 2). Also steht da, m = 0 (mod 2) und du hast eine Lösungsmenge für m: m in { 2 * n | n in Z} (Erklärung, "in" steht hier für das "ist Element"-Zeichen, "|" für "mit der Eigenschaft", Z alle ganzen Zahlen).

Jetzt kannst du rückwärts die anderen Buchstaben auflösen, denn wir wissen ja, m = 2n, k = (5m+2)/2; x = (12k+3)/5.

Also: k = (10n + 2) / 2 = 5n+1;

x = (60n + 12 + 3) / 5 = (60n + 15) / 5 = 12n + 3.

Somit ist x in {12n + 3 | n in Z} = {..., -21, -9, 3, 15, 27, ...}.

starkey37 23.10.2012, 11:57

Jetzt fällt es mir auf. Was ich da beschrieben habe ist im Grunde der "Erweiterte Euklidische Algorithmus". http://de.wikipedia.org/wiki/Erweiterter_euklidischer_Algorithmus

Bestimme ganze Zahlen x und y, so dass 5x + 12 y = 1. Lösung mit dem bekannten Schema ergibt : 5 * 5 - 2 * 12 = 1. Dann alles mal 3 nehmen: 5 * (5 * 3) - (2 * 3) * 12 = 3. Somit ist 5 * 3 = 15 eine spezielle Lösung für die Aufgabe. Mit der Kongruenz modulo 12 wird eine Menge daraus, nämlich die Menge aller derjenigen ganzen Zahlen, die in modulo 12 kongruent zu 15 sind. Also wieder {12k + 3 | k in Z}.

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Mod ergibt doch m.E. den Rest aus der Division: 3 / 12 = 0 Rest 3. Also:

5x = 3mod12 = 3

x = 3/5

Das kommt mir zu einfach vor, außerdem bin ich durch die Klammer verwirrt - ist das eine besondere Schreibweise, die ich nicht kenne?

Suboptimierer 22.10.2012, 10:21

Wieso Zweifel. Das ist auf jeden Fall eine richtige Lösung.

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florianscholz 22.10.2012, 12:01
@Suboptimierer

Es gilt aber eben auch:

5x = 3 + 12 mod 12 = 3

5x = 3 + 2 * 12 mod 12

Also:

5x = 3 + k * 12 mod 12

Und wenn wir das jetzt durch 5 teilen..

x = (3 + k * 12 mod 12) / 5

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casilein 23.10.2012, 09:26
@florianscholz

(3 + k * 12) mod 12 ist auch 3. Mit gleicher Berechtigung könntest Du auch 5x = √9 schreiben.

Anders wäre es z.B. bei x mod 12 = 3: Da wäre für x in der Tat 3, 15, 27... möglich, also x = k * 12 + 3. Aber das ist eine ganz andere Gleichung....

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5x = 3mod12   | /5
x = (3mod12) / 5
x = 0 / 5
x = 0
Oubyi 22.10.2012, 08:44

Sorry, aber ist nicht

3 mod 12 = 3

???
Es wäre imho:
12 mod 3 = 0
Oder bringe ich das durcheinander?
Ist schon -zig Jahre her.

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S1r1us13 29.10.2012, 17:42
@Oubyi

Oh stimmt, sry, bei mir war es auch schon einige Jahre her D:

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