Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist er mehr als 1 dm von jeder Ecke entfernt?

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2 Antworten

Hallo,

ich bekomme auch 0,773 heraus.

Dein Lösungsweg ist falsch. Du mußt um jede Ecke einen Kreis mit dem Radius von 1 dm schlagen - bis dahin liegst Du richtig. Nun aber mußt Du berechnen, wieviel an Fläche diese Kreise innerhalb des Dreiecks einnehmen.

Da alle Winkel im gleichseitigen Dreieck 60° betragen, nehmen die Kreisausschnitte jeweils ein Sechstel ihrer Kreisflächen weg. Bei drei Kreisausschnitten sind das 3/6 oder genau die Hälfte. Du mußt also von der Dreiecksfläche die halbe Fläche eines Kreises, der einen Radius von einem Dezimeter besitzt, abziehen, denn jeder Punkt, der sich innerhalb dieser Kreisflächen innerhalb des Dreiecks befindet, wäre ja höchstens 1 dm von der nächsten Ecke entfernt und würde die Bedingung nicht erfüllen. Als möglicher Ort für einen Punkt bleibt also nur noch die Dreiecksfläche abzüglich einer halben Kreisfläche. Die Kreisfläche berechnet sich nach π*r², so sind drei Sechstel dieser Kreisfläche πr²/2. Da r=1, nehmen die drei Kreisausschnitte somit π/2 dm =1,57dm² ein.

Um die Dreiecksfläche zu berechnen, bestimmst Du entweder mit Hilfe des Satzes von Pythagoras die Länge der Höhe und multiplizierst sie mit 2, der halben Grundseite. Du kannst auch (a²/2)*sin (60°) rechnen, das geht schneller: 8*sin (60)=6,93 dm².

Davon ziehst Du nun die Fläche der Kreisausschnitte ab:

6,93-1,57=5,36

5,36 dm² ist also die Fläche innerhalb des Dreiecks, innerhalb derer ein Punkt mindestens ein Dezimeter von der nächsten Ecke entfernt ist.

Die Wahrscheinlichkeit, daß sich ein Punkt innerhalb des Dreiecks auf dieser Fläche befindet, beträgt 5,36/6,93=0,773.

Herzliche Grüße,

Willy

Ich habe mir das jetzt nicht genau angesehen, aber kann es sein, dass Du in jeder Ecke ein Dreieck (mit drei geraden Seiten) als "ungünstig" markiert hast? - Dann liegt darin der Fehler: Der Rand der "ungünstigen Fläche" im Inneren des Dreiecks ist die Kreislinie, keine Gerade!

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