Mit welcher Integrationsmethode leite ich f(x)= (-10x^2 + 10 / (x^2+1)^2 auf?

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3 Antworten

Hallo,

ich interpretiere das Integral mal als ∫ (-10x^2 + 10) / (x^2+1)^2 dx.

Zunächst würde ich das Integral umschreiben:

  • ∫ (-10x^2 + 10) / (x^2+1)^2 dx
  • = -10 ∫ 1 / (x^2+1) dx + 20 ∫ dx / (x^2+1)^2

Den ersten Teil kann man leicht mit ner bekannten Stammfkt. lösen:

  • = -10 * arctan(x) + 20 ∫ dx / (x^2+1)^2

Den zweiten Teil kann man durch Substitution lösen:

x = tan(t) ---> dx = (1+tan^2(t)) * dt = (1+x^2) * dt

  • Substitution einsetzen:
    = -10 * arctan(x) + 20 ∫ dt / (tan^2(t)+1) 
  • 1 / (tan^2(t)+1) = cos^2(t)
    = -10 * arctan(x) + 20 ∫ cos^2(t) dt
  • cos^2(t) = 1/2 + 1/2 * cos(2t)
    = -10 * arctan(x) + 10 ∫ dt + 10 ∫ cos(2t) dt
  • = -10 * arctan(x) + 10t + 5 * sin(2t) + c
  • = -10 * arctan(x) + 10 * arctan(x) + 5 * sin(2 * arctan(x)) + c
  • Das macht WolframAlpha
    = 5 * sin(2 * arctan(x)) + c
  • = 10x / (x^2+1) + c

Lösung auf WolframAlpha: http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate((-10x%5E2%2B10)%2F(x%5E2%2B1)%5E2)

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LG. Kesselwagen

Mit deiner Funktion stimmt etwas nicht, du hast auf der rechten Seite vom Gleichheitszeichen zwei linke Klammern ( aber nur eine rechte Klammer ), wo soll die zweite rechte Klammer gesetzt sein ?


hinter der letzten 10

1

wenn -10x²+10 beides auf dem bruchstrich steht, dann mit

Substitution z=x²+1

könntet du mir das vorrechnen?

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ja

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