Mit welcher Formel müsste man den Zeitunterschied im Flugzeug relativ zur Erde berechnen?

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3 Antworten

Der Faktor, um den bewegte Uhren langsamer gehen berechnet sich zu

1/Wurzel (1-v²/c²)

wenn ich da deine Geschwindigkeit einsetze komme ich auf einen Faktor von 1,0000000000004033350480112179556

das heißt, man müsste 2.479.328.302.687 Sekunden mit 970 km/h unterwegs sein, um eine Sekunde weniger zu altern. Das entspricht einer "Flugzeit" von 78565 Jahren.

Gute Reise!

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Kommentar von gfntom
30.07.2016, 21:01

Die Auswirkung der Gravitation habe ich unterschlagen, die kann ich im Moment formal nicht fassen! ;)

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Die gravitative Zeitdilatation kann über den Frequenzverlust des Lichts modelliert werden, das in einem Schwerefeld eine Höhendifferenz Δr überbrückt.

Jede Energieportion (Photon) zu h·f besitzt eine Effektivmasse h·f/c² und dadurch im Gravitationspotential Φ(r) eine potentielle Energie Φ(r)·hf/c². Energieerhaltung besagt, dass 

(1.1) f(r)·(1 + Φ(r)/c²) = const.

ist. Setzen wir Φ(R) mit dem Erdradius R zu 0 und nennen f(R)=:f₀ und nehmen g als konstant an, kommen wir auf

(1.2) f(R+Δr) ≈ f₀/(1 + g·Δr/c²) ≈ f₀(1 – g·Δr/c²),

und da Frequenz ein Maß der Zeit ist und das Schwerefeld zu einer Beschleunigung äquivalent sein, sich also »wegtransformieren« lassen soll, lässt dies den Schluss zu, dass die Zeit in der Höhe Δr um diesen Faktor (1+g·Δr/c²) schneller läuft als am Erdboden. Die kinetische Energie des Flugzeugs wirkt diesem Effekt entgegen und gleicht ihn bei 2gΔr = v² aus. Dies ist auch bei J. L. Martin, General Relativity, nachzulesen.

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Wenn man es genauer wissen möchte, lässt sich das Schwerefeld der Erde in recht guter Näherung mit der Schwarzschild-Metrik beschreiben, der einfachsten Lösung der Einstein'schen Feldgleichungen, die Karl Schwarzschild noch kurz vor seinem gewaltsamen Tod im Ersten Weltkrieg entwickelt hatte.

Das Quadrat eines raumzeitlichen Linienelementes ist

(2.1) c²(dτ)² = c²(dt)²(1 – 2µ/r) – (dr)²/(1 – 2µ/r) – r²(dϑ)² – r²sin²(ϑ)(dφ)²,

mit dem Gravitationsradius

(2.2) µ = G·M/c² ≈ 4/9·10⁻²m 

(G Gravitationskonstante, M, Masse der Erde).

Wenn das Flugzeug auf konstanter Höhe fliegt, entfällt der 2. Term der RS. Wenn wir ferner annehmen, das Flugzeug sei entlang des Äquators unterwegs, so reduziert sich (2.1) auf

(2.3)  c²(dτ)² = c²(dt)²(1 – 2µ/r) – r²(dφ)²,

und wenn wir beide Seiten durch (dτ)² teilen, erhalten wir

(3.1) c² = c²γ²(1 – 2µ/r) – r²(dφ/dτ)²  = c²γ²(1 – 2µ/r – v²),

mit

(3.2) γ=(dt/dτ) und γv = γr(dφ/dt) = r(dφ/dτ).

Daraus ergibt sich der Zeitdilatations-Faktor γ (gegenüber einem von der Erde entfernten »ruhenden« dritten Beobachter) zu

(4) γ(v, r) = 1/√{1 – (v/c)² – 2µ/r}.

Natürlich reicht es nicht einfach, γ einzusetzen, sondern es muss γ(v,R+Δr) mit γ(0,R) verglichen werden. Dabei wurde allerdings die Rotation der Erde nicht berücksichtigt, die aber beide Beobachter betrifft.

Näherungen und Linearisierungen werden in jedem Fall ohne Weiteres greifen, denn die Potentialdifferenz, gemessen an c², und der Geschwindigkeitsbetrag, gemessen an c, ist klein.

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Kommentar von SlowPhil
05.08.2016, 20:23

Es ist übrigens doch zu beachten, dass für einen erdgebundenen Beobachter

|v₀› = ω·r·sin(θ)·|e.[ϑ]›

ist, wobei ω = 2π/86400s ist (= eine Umdrehung pro Tag).

Wenn ein Flugzeug nun beständig mit –|v₀› nach Westen fliegen sollte (je näher an einem der Pole, desto weniger schnell muss er fliegen), dann heißt dies, dass er eigentlich stehen bleibt und sich die Erde unter ihm weiterdreht.

Man kann natürlich argumentieren, man könne den erdgebundenen Beobachter ebenso gut als ruhend betrachten wie den an Bord des Flugzeugs als ruhend beobachten, aber im Unterschied zum Bord - Beobachter muss man sich beim erdgebundenen entscheiden, zu welcher Tageszeit man ihn als ruhend betrachtet, denn seine Geschwindigkeit ist ja definitiv nicht konstant.

Wenn er sich z.B. um 14:00 als ruhend betrachtet, muss er konstatieren, dass seine Geschwindigkeit um 02:00 Uhr maximal, nämlich fast 2|v₀› ist.

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Lies dir das mal durch, danach kannst du dir die Frage hoffentlich beantworten: https://de.wikipedia.org/wiki/Zeitdilatation :)

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Kommentar von HamiltonJR
30.07.2016, 20:24

ja, Zeitdilatation ist ja schon klar, aber ich suche eine Formel, in der die Höhe mit einkalkuliert ist

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