Mit Hilfe des Skalarproduktes die Koeffizienten der Linearkombination berechnen?

Aufgabe - (Mathe, Mathematik, Informatik)

2 Antworten

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Zu iii) - Zuerst mal die einfachere Antwort: [0, pi] bedeutet das "beidseitig abgeschlossene Intervall von 0 bis pi", d. h. die Menge aller Zahlen, die zwischen 0 und pi (jeweils einschließlich) liegen.

Winkel werden in der Mathematik oft im Bogenmaß angegeben, weil sich damit insgesamt einfacher rechnen lässt als im Gradmaß. Man teilt den Kreisbogen, der einem Winkel zugeordnet ist, durch den Radius. Ein Vollwinkel (360°) hat demnach ein Bogenmaß von 2 pi, ein gestreckter Winkel (180°) von pi und ein rechter Winkel (90°) von pi/2.

Der Winkel zwischen zwei Strahlen kann ja irgendwo zwischen 0 (parallel) und 180° / pi (antiparallel) liegen.

Zu ii): Wenn du in der Gleichung

(1) x = alpha * a + beta * b + gamma * c

auf beiden Seiten das Skalarprodukt mit a bildest, erhältst du:

(2) x . a = alpha * a . a + beta * b . a + gamma * c . a

In Teil i) hast du ja aus a, b, c schon ein Orthogonalsystem gemacht. Aus der paarweisen Orthogonalität von a, b, c folgt:

b . ac . a = 0

Damit kannst du die obige Gleichung (2) leicht nach dem Koeffizienten alpha auflösen.

Entsprechend für b und beta, sowie c und gamma.

Noch etwas zu iii): Den Zusammenhang zwischen Skalarprodukt / Norm und Cosinus kennst du hoffentlich?

Woher ich das weiß:Hobby – Hobby, Studium, gebe Nachhilfe

Erstmal Danke für die Antwort! (Y)

zu i) Der Vektor c ist (1 / 4 / 5)

zu ii) Also vereinfacht?:

x . a = alpha * (a . a)

x . b = beta * (b . b)

x . c = gamma * (c . c)

Da bekomme ich für:

alpha = ca. 2,94

beta = ca. -2,83

gamma = ca. 1,43

Stimmt meine Rechnung?

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@ahimvx

Sieht jedenfalls nicht verkehrt aus. Stimmt es, wenn du diese Werte einsetzt?

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@PWolff

Ich habe die Skalarprodukte von x.a , x.b und x.c sehr schlampig berechnet.

x.a = 42

x.b = -24

x.c = -84

alpha = 3

beta = -2

gamma = -2

(Alle Werte sind genau, also nicht gerundet)

Wenn man diese in die Linearkombination einsetzt, dann kommen auch die Werte des Vektors x raus.

Jetzt mache ich mal mit der Aufgabe iii) weiter. Nochmal danke an dich. (Y)

Ich schreibe, falls ich die Lösung habe bzw. falls ich nicht weiterkomme.

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i) c̄ = ā ⨯ ½b̄ = (1 , 4 , 5) und x̄ = 3 • (1 , - 6 , - 1)

ii) x̄ • ā = α • ā²   →    42 = α • 14  →   α = 3

    x̄ • b̄ = ß • b̄²  →  ‒ 24 = ß • 12  →   ß = ‒ 2

    x̄ • c̄ = ɣ • c̄²  →  ‒ 84 = ɣ • 42  →   ɣ = ‒ 2

iii) Für den Winkel δ zwischen f̄ und ḡ gilt:

cos δ = f̄ • ḡ /(|f̄| • |ḡ|) = 7 / {(√14) • (√14)} = ½. Daher δ = 60°≙ ⅓π є [0 , π]

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