Mit einer Normalen den kürzesten Abstand zum Ursprung bestimmen?

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2 Antworten

Zeichnen oder berechnen?

Die Normale ist die Senkrechte (Orthogonale) zu g(x).

Rechnung:

Es gilt für das Produkt der Steigungen der Normalen m1 und die Steigung der Tangenten m2:

m1*m2= -1

m1 = -1/m2

Die Steigung der Tangenten bestimmst du mit der 1. Ableitung g'(x)

g(x) = 0,2x² + 0,4x -2,8

g'(x) = 0,4x + 0,4

m1 = -1/(0,4x +0,4) = -2,5/(x+1)

Die Normale  n(x) = m1*x + b geht durch den Ursprung O(0/0), deshalb ist b=0

[Formal: 0 = m1*0 + b    => b = 0]

Die Normale geht auch durch die Parabel g(x)

g(x)= 0,2*(x+1)²-3

Der Schnittpunkt von Parabel und Normalen bestimmt man mit

g(x) = n(x)

0,2*(x+1)²-3 = -2,5/(x+1)    *x    |*(x+1)

0,2*(x+1)³ -3*(x+1) = -2,5x        |+2,5x

0,2*(x+1)³ -0,5x -3 = 0

0,2*x³ + 0,2x² + 0,2x + 0,2 -0,5x - 3 = 0

0,2x³ +0,2x² -0,3x - 2,8 = 0

Nun musst du das Minimum dieser Funktion im gesuchten Intervall bestimmen.

GTR? Polynomendivision?

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Kommentar von gilgamesch4711
21.01.2017, 22:58

  Keiner vom euch nummeriert sein Gelump. Ich würde jedem in der Klausur eine Note besser geben  als er verdient, der seine Gleichungen nummeriert und gleichzeitig zitiert.

   Sehr schöne Darstellung; deine Gleichung ist fast richtig. Deine letzte richtige Gleichung

   2  (  x  +  1  )  ³  -  5  x  -  30  =  0

   Dann hast du Rechenfehler; siehe Wolfram.

   Nicht das MINIMUM dieser Gleichung suchst du, sondern ihre Wurzeln. Polynomdivision durch Gleitkommagrößen hat noch niemand verbrochen; siehe die von mir erfundenen ===> Alfonsinischen pq formeln.

   Wann hört endlich jemand auf mich?

  

0

    Ich setze mal auf ein Verfahren, das man Schülern nicht groß erklären muss: ===> Implizites Differenzieren.

   D  (  x  ;  y  )  :=  x  ²  +  y  ²  =  extr      (  1a  )

   Die Ableitung von ( 1a ) setzen wir im Extremum = 0 , wobei y durch die Kettenregel berücksichtigt wird.

    D  '  =  x  +  y  y  '  =  0     (  1b  )

    y  =  1/5  (  x  +  1  )  ²  -  3       (  2a  )

    y  '  =  2/5  (  x  +  1  )     (  2b  )

   Jetzt noch y einsetzen in ( 1b )

   x  +  2/5  (  x  +  1  )  [  1/5  (  x  +  1  )  ²  -  3  ]  =  0     (  3a  )

   Ich bin ja so froh, dass ich Wolfram habe. Wolfram findet

    x  ³  +  3  x  ²  +  1/2  x  -  14       (  3b  )

   Bei einer kubistischen Gleichung stellt sich ja ganz typisch die Alternative: Entweder sie ist prim, das ===> Minimalpolynom ihrer Wurzeln ( was hier  leider der Fall ist ) Oder sie spaltet einen rationalen Linearfaktor ab ( welcher auf Grund des ===> Satzes von der rationalen Nullstelle ja nur ganz-oder halbzahlig sein könnte. )

    Mit der cartesischen Vorzeichenregel stellt sich die positive Wurzel von ( 3b ) als eindeutig heraus und dist damit das gesuchte Minimum, weil es keine weiteren reellen Lösungen mehr gibt. Das siehst du am Schnellsten ein mit dem Satz von Vieta; Wolfram gibt

       x0  =  1.677     (  4a  )

     a2  =  -  [  x0  +  2  Re  (  z0  )  ]  =  3  ===>  Re  (  z0  )  =  (  -  2.339  )    (  4b  )   ;  vgl. Wolfram

      a0  =  -  x0  |  z0  |  ²  =  (  -  14  )  ===>  |  z0  |  =  2.889         (  4c  )  

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