Mit einer Endziffernbetrachtung irrationale Zahlen begründen?

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1 Antwort

Jede Wurzel einer natürlichen Zahl ist entweder selbst eine natürliche Zahl oder eine reelle Zahl mit unendlich vielen Nachkommastellen (im Dezimalsystem).

Das ist auch relativ leicht zu beweisen, wenn man das Quadrieren von abbrechenden Kommazahlen anschaut. 


Angenommen wir haben eine Zahl x mit endlich vielen Nachkommastellen.
Wir können die Anzahl der Nachkommastellen zählen und diese Zahl n
nennen. Dieses n muss eine natürliche Zahl sein. Beispiel: x = 1,414 hat
drei Nachkommastellen ==> n = 3. Null kann dabei also nie die letzte
Ziffer sein.


Wir können diese Zahl zerlegen: 1,414 = x = 1 + 4/10 + 1/100 + 4/1000.
Jetzt quadrieren wir diese Zahl: 1,414² = x² = (1 + 4/10 + 1/100 + 4/1000)²
Wobei (1 + 4/10 + 1/100 + 4/1000)² ähnlich wie nach den Binomischen Gesetzen ausmultipliziert werden kann. 


(1 + 4/10 + 1/100 + 4/1000)² = (1 + 4/10 + 1/100 + 4/1000) * (1 +
4/10 + 1/100 + 4/1000) = 1 * (1 + 4/10 + 1/100 + 4/1000) + 4/10 * (1 +
4/10 + 1/100 + 4/1000) + 1/100 * (1 + 4/10 + 1/100 + 4/1000) + 4/1000 *
(1 + 4/10 + 1/100 + 4/1000) = (1 + 4/10 + 1/100 + 4/1000) + (4/10 +
16/100 + 4/1000 + 16/10000) + (1/100 + 4/1000 + 1/10000 + 4/100000) +
(4/1000 + 16/10000 + 4/100000 + 16/1000000) wobei die Klammern im
letzten Term nur der Übersicht dienen.

Jetzt könnte man alle Summanden ordnen und sammeln und z.B.  16/100 zerlegen in 1/10 + 6/100.


Dann fällt einem auf, dass man genau einen Summand mit " /1000000"
erhält, hier: 6/1000000. Das ist die letzte Stelle der quadrierten Zahl.
Diese ist immer gleich der letzten Ziffer des Quadrats der letzten
Ziffer der Ausgangszahl.
Also: x = 1,414 ==> letzte Ziffer: 4 ==> 4²=16, davon die letzte Ziffer: 6 ==> 6 ist die letzte Ziffer von 1,414².


Außerdem hat diese in der oben verwendeten Schreibweise den Divisor
1000000 was gerade das Quadrat des Divisors der letzten Ziffer der
Ausgangszahl x sein muss.


Es gibt keine reelle Zahl außer der Null (welche nicht die letzte
Stelle von x sein darf) deren Quadrat Null ergibt. Somit ist die letzte
Stelle des Quadrats also immer von Null verschieden.


Das Quadrat einer reelle Zahl mit n endlich vielen Nachkommastellen hat also immer 2 * n Nachkommastellen.


Es kann also keine relle nicht natürliche Zahl mit endlich vielen
Kommastellen geben, deren Quadrat 2 ist ( oder irgendeine andere
natürliche Zahl).




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Kommentar von Roach5
27.02.2016, 06:08

"Es kann also keine reelle nicht natürliche Zahl mit endlich vielen Kommastellen geben, deren Quadrat 2 ist (oder irgendeine andere natürliche Zahl)" Kleiner Einwand: (-3)(-3) = 9, (-3) ist keine natürliche Zahl! Wir sollten das also in "ganze Zahl" ersetzen. Ja, die Aussage stimmt sonst, das Quadrat einer nicht-Ganzzahl ist nie eine ganz-Zahl (in R), aber damit ist der Irrationalitätsbeweis von sqrt(2) noch nicht abgeschlossen. Du musst noch den Fall betrachten, wenn die Zahl zwar unendlich viele Nachkommastellen hat, diese aber periodisch sind. Ich denke hier könnte man mit der Periodenlänge argumentieren: Ist eine rationale Zahl r im Dezimalsystem periodisch, so hat r^2 auch eine Periode.

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Kommentar von Roach5
27.02.2016, 06:09

Insofern ist die Aufgabenstellung des Lehrers nicht gut, da die korrekte Endziffernbetrachtung nicht ausreicht, um Irrationalität zu beweisen.

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