MengenIehre

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2 Antworten

Nein, das Äquivalenzzeichen bedeutet nicht, dass drei Mengen dieselben sind (zwischen den Äquivalenzeichen stehen auch keine Mengen), sondern dass die drei Aussagen

"A ist Teilmenge von B"

"A vereinigt B ist dasselbe wie B"

"A geschnitten B ist dasselbe wie A"

äquivalent sind.

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Kommentar von FataMorgana2010
15.07.2013, 21:12

Überleg dir mal die erste Äquivalenz:

Wenn A eine Teilmenge von B ist, dann ist jedes Element aus A auch in B enthalten. Wenn ich unter dieser Bedingung jetzt A und B vereinige, erhalte ich wieder B, da durch die Vereinigung mit A keine "neuen" Elemente hinzukommen.

Andersherum: Wenn durch die Vereinigung von A und B wieder B herauskommt, dann muss A eine Teilmenge von B sein - wäre A nicht Teilmenge von B, so gäbe es ja ein Element a aus A, das nicht in B liegt. a wäre dann aber auch in A vereinigt B enthalten - aber A vereinigt B soll ja gerade B sein, Widerspruch.

Damit habe ich die erste Äquivalenz gezeigt.

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Zunächst: Dein "Äquivalenzsymbol" kenne ich als "genau dann, wenn".

AuB=B bedeutet, die Vereinigung von A und B ist B, also dass A zur Vereinigung nichts beiträgt. Das ist der Fall genau dann, wenn A eine (echte oder unechte) Teilmenge von B ist.

A geschnitten B = A bedeutet, dass B dem Schnitt nichts "wegnimmt", also eine Obermenge von A ist. Das ist der Fall genau dann, wenn die beiden anderen Aussagen wahr sind.

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