Menge wird auf Potenzmenge abgebildet (Beweis)?

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2 Antworten

Hallo,

Alleine die Aufgabenstellung verstehe ich nicht ganz. Wenn M auf P(M)
abgebildet wird, dann muss ich mir das doch so vorstellen, dass a
Element M auf {a} Element der Potenzmenge abgebildet wird, oder?

Alleine die Aufgabenstellung verstehe ich nicht ganz. Wenn M auf P(M)
abgebildet wird, dann muss ich mir das doch so vorstellen, dass a
Element M auf {a} Element der Potenzmenge abgebildet wird, oder?

Ja, das wäre eine mögliche Abbildung, aber es gibt noch viele andere.

Beispiel: sei M eine Menge mit drei Elementen, z.B. M = {1;2;3}. Dann besteht P(M) aus folgenden Elementen:

P(M) = { {∅}; {1};{2}; {3}; {1;2}; {1;3}; {2;3}; {1;2;3} }

Eine mögliche Abbildung g : M → P(M) könnte sein:

g(1) = {1;3}, g(2) = {∅}, g(3) = {1;2;3}

Bemerkung: das Thema ist "Grössenverhältnis zwischen einer Menge und ihrer Potenzmenge". Ist M endlich, dann gilt: |P(m)| = 2^|M|, |M| = Anzahl der Elemente von M. Hier sieht man, dass |P(M)| = 8 = 2³ = 2^|M|.

Nun zur Aufgabe

a) Sei M eine Menge. Ist M leer, so ist die Abbildung

f : M → P(M), ∅ → {∅} injektiv.

Sei M nicht leer.

Die Abbildung f : M → P(M) mit f(x) = {x}, x ∈ M ist injektiv:

f bildet jedes Element x aus M auf die Teilmengen von M ab, die jeweils genau x enthält. Zwei verschiedene Elemente von M werden also auf zwei verschiedene Teilmengen von M abgebildet.

b) Sei g : M → P(M) eine beliebige Abbildung.

Sei Ng := { p ∈ M | p ∉ g(p) }.
Ng ist also eine Teilmenge von M.

Behauptung: für alle p ∈ M : g(p) ≠ Ng

Angenommen es gäbe ein p' ∈ M mit g(p') = Ng.

Dann gibt es zwei Möglichkeiten:

1) Entweder p' ∈ Ng ⊂ M, oder
2) p' ∉ Ng (d.h. p' Element des Komplements von Ng).

1) p' ∈ Ng <=> p' ∉ g(p'), aber g(p') = Ng, also p' ∉ Ng.

Das steht im Widerspruch zu p' ∈ Ng

2) p' ∉ Ng <=> Γ ( p' ∉ g(p') ) wahr ( Γ = Verneinung )

<=> p' ∈ g(p) = Ng, was im Widerspruch zu p' ∉ Ng steht.

Also ist die Annahme, es gibt ein p' ∈ M mit g(p') = Ng falsch.
D.h. für alle p ∈ M : g(p) ≠ Ng

Angenommen, es gäbe eine surjektive Abbildung g : M → P(M).

Dann müsste es ein p ∈ M geben, das auf Ng ∈ P(M) abgebildet wird, also

g(p) = Ng, was aber nicht möglich ist, wie gerade gezeigt wurde.

Gruss

P.S. Überschneidung mit der zweiten Antwort...

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"..., dass a Element M auf {a} Element der Potenzmenge abgebildet wird, oder?"

Na da hast du ja schon eine Lösung für Teil (a) der Aufgabe gefunden... 🙂

Sei z.B. 

M = {1,2,3} 

und damit 

P(M) = { \\\\emptyset,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3} }

Dann wäre etwa 

f: M → P(M), 1 → {1,2}, 2 → {1,3}, 3 → {2,3}

für diese übersichtliche Menge eine andere denkbare injektive Abbildung.

In diesem Fall wäre N_g = {2}, da 2 nicht in {1,3} enthalten ist. Wäre die Vorschrift 2 → {2}, anstatt 2 → {1,3}, wäre N_g die leere Menge.

N_g ist die Menge der Elemente m aus M, die nicht in der Teilmenge vorhanden sind, auf die sie abgebildet werden.

Gezeigt werden soll jetzt, dass N_g nicht in der Bildmenge der Abbildung liegt.

Sei also p₀ ein Element aus M mit 

(1)   g(p₀) = N_g.

Sei p₀ ∈ g(p₀) 

→ p₀ ∈ N_g, wg. (1) 

→ p₀ ∉ g(p₀) wg. Bildungsvorschrift für N_g ➽ Widerspruch!

Sei p₀ ∉ g(p₀)

→ p₀ ∈ N_g, wegen Bildungsvorschrift für N_g

→ p₀ ∈ g(p₀), wegen (1) ➽ Widerspruch!

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