Menge aller ganzen Zahlen?

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7 Antworten

Hallo, 

abzählbar bedeutet einfach, daß Du jedem Element dieser Menge eine eindeutige natürliche Zahl zuordnen kannst.

Das funktioniert bei der Menge der natürlichen Zahlen N, der ganzen Zahlen Z und der rationalen Zahlen Q, bei den reellen Zahlen R funktioniert es nicht, weshalb letztere Menge überabzählbar unendlich genannt wird.

Weshalb auch eine unendlich große Menge abzählbar sein kann, macht am besten 'Hilberts Hotel' mit unendlich vielen Zimmern und entsprechend vielen Gästen deutlich.

Dieses Hotel ist von Zimmer Nr. 1 bis Zimmer Nr. unendlich belegt.

Nun kommt noch ein Gast, der auch untergebracht werden will.

Der Hotelmanager macht es möglich:

Der Gast von Zimmer 1 zieht in Zimmer Nr. 2 um; der Gast von Zimmer Nr. 2 in Zimmer Nr. 3 usw. Der von Zimmer Nr. n in Zimmer Nr. n+1.

So wird Zimmer Nr. 1 frei und der neue Gast kann einziehen.

Nun kommt ein Bus mit unendlich vielen Gästen, die noch einen Platz ergattern wollen.

Kein Problem: Jeder zieht in das Zimmer mit der Nummer, die dem Doppelten seiner eigenen Zimmernummer entspricht. So werden alle Zimmer mit ungeraden Zimmernummern frei und bieten den unendlich vielen neuen Gästen Platz. Obwohl das Hotel unendlich viele Zimmer mit unendlich vielen Gästen besitzt, hat doch jedes Zimmer seine eigene und eindeutige Zimmernummer.

Herzliche Grüße,

Willy

Z, die Menge der ganzen Zahlen, ist abzählbar unendlich. Die Menge R der reellen Zahlen ist dagegen überabzählbar unendlich, denn egal, welche zwei reelle Zahlen ich wähle, dazwischen liegen unendlich viele weitere reelle Zahlen.

Du hast da ein kleines Problem mit dem Formalismus.

Die Menge der ganzen Zahlen ist ℤ, ohne geschweifte Klammern, ohne irgendwas. Sie ist abzählbar unendlich.

ℝ wäre hingegen die Menge der reellen Zahlen, sie ist überabzählbar unendlich.

Noch Fragen?

Meinst du die ganzen Zahlen Z?

Oder doch die reellen Zahlen IR?

Die Menge der ganzen Zahlen ist abzählbar unendlich, die Menge der reellen Zahlen hingegen ist überabzählbar unendlich.


Ähm da hast du irgendwas verwechselt

Natürliche= N  (abzählbar unendlich)

Ganze Zahlen= Z  

(abzählbar unendlich)

Rationale= Q 

(abzählbar unendlich)

Reellen Zahlen= R (nicht abzählbar unendlich)

Also erstens ist es M={Z} und ja sie sind abzählbar

 Die Begründung. Im ersten Cantorschen Diagonalbeweis ( CDB1 ) wird für die rationalen Zahlen |Q eine ===> Wohlordnung explizit konstruiert; damit aber ist |Q auch ===> ordnungsisomorph zu

     w  :=  |N     (  1  )

    der ersten transfiniten ===> Ordinalzahl

   Schon für endliche Mengen ist klar, dass die ===> Potenzmenge stets mehr Elemente enthält als die Grundmenge.

  card  (  2  ^  M  )  =  2  ^  card  (  M  )    (  2  )

   Im CDB2 wird dieses Konzept auf unendliche Mengen verallgemeinert:

  card  (  2  ^  M  )  >  card  (  M  )   (  3  )

   Wir haben damit eine Schwindel erregende Leiter, die uns gestattet, zu jeder unendlich hohen Sprosse immer die nächst höhere Unendlichkeit zu erklimmen. Insbesondere gilt

    |R  =  2  ^  |N    (  3  )

   Siehe auch ===> Kontinuumshypotese

Das mag stimmen; aber wer Deine Antworten versteht, braucht hier keine Fragen zu stellen.

Herzliche Grüße,

Willy

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  Bist du etwa hier der einzige Wikimuffel? Potenzmenge; CDB . Auch wohlordnung und Kontinuumshypotese. Alles in Wiki sehr einleuchtend erklärt; du kannst auch danach googeln. Nur keine faulen Ausreden.

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@gilgamesch4711

Wer zunächst Wiki befragen muß, um Deine Antworten zu verstehen, kann auch gleich seine Frage mit Hilfe von Wiki beantworten. Viele, die hier Fragen stellen, sind nicht zu faul, um bei Wiki nachzuschlagen, sondern sie verstehen die komplizierten Artikel oft nicht und suchen hier nach Menschen, die solche Sachverhalte mit einfachen Worten erklären können (was natürlich nicht immer möglich ist).

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