Wie verhält sich das genau mit der Gravitation?

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6 Antworten

In den Formeln sind:
aE = Beschleunigung der Erde; aS = Beschleunigung des Sterns
mE = Masse der Erde; mS = Masse des Sterns.
G = Gravitationskonstante; r = Abstand der Massenzentren



Die 9,81 m/s^2 (Erdbeschleunigung) gelten nur wenn die 2. Masse sehr klein gegenüber der Erdmasse ist. Die allgemeine Formel für die Anziehungskraft zwischen zwei Massen, die auf beide gleich wirkt, ist:

        G · m1·m2
F =  ----------------
              r^2

wobei G die Gravitationskonstante 6,67·10^-11 m^3/(kg·s^2) ist
(nicht die Erdbeschleunigung g).

Daraus lässt sich die Beschleunigung a nach F = m·a für beide Körper ausrechnen (sie bewegen sich aufeinander zu).

Die Kraft wirkt auf beide Massen gleichermaßen, da sie aber
unterschiedliche Massen haben, ist die Beschleunigung natürlich
ungleich.

Also gilt für die Erde (Masse = mE):

F = mE · aE, und damit aE = F / mE. Setze obiges F in die Formel ein:

           F         G·mE·mS       G · mS
aE = ------ = ----------------- = -------------
          mE       mE · r^2             r^2

ditto für den Stern:

           F         G·mE·mS       G · mE
aS = ------ = ----------------- = -------------
          mS       mS · r^2             r^2

Konkret, in Deinem Beispiel musst Du für mE die Erdmasse (5.97·10^24 kg) und für mS 2 mal die Sonnenmasse (1,99·10^30 kg) einsetzen, um die Kraft, die auf beide wirkt auszurechnen.
Die Kraft, und damit die Beschleunigung hängt vom Abstand ab.
Wir müssen die Massenzentren nehmen. Also auf der Erdoberfläche sind wir bereits 6378km davon entfernt. Und entsprechend auch den Sternradius mit hineinrechnen.
Ich nehme mal im Folgenden den Sonnenradius 6,96342·10^8 m (obwohl das nicht ganz realistisch ist, da ein Stern mit doppelter Masse etwas größer wäre...).

Nehmen wir mal an, Erde und Stern wären 1km entfernt (achtung: unrealistisch), dann wäre der Abstand vom Erdmittelpunkt (=Massenzentrum) = 6378Km = 6,378·10^6 m und vom Sternzentrum 6,96342·10^8 m.
Der gesamte Abstand der beiden Massenzentren also 6,378·10^6 m + 6,96342·10^8 m + 1000 m ≈ 7,027e8 m.

Dann wäre die Beschleunigung der Erde ungefähr:

6,67·10^-11 m^3/(kg·s^2) · 2 · 1,99·10^30 kg      6,67·2·1,99 · 10^19  m
------------------------------------------------------------  ≈ ---------------------------------- ≈
               7,027 · 7,027 ·10^18 m^2                              4,94 · 10^17     s^2

3,37 · 10^2 m/s^2 = 337 m/s^2

und die des Sterns:

6,67·10^-11 m^3/(kg·s^2) · 5,97·10^24      kg        6,67·5,97 · 10^13  m
------------------------------------------------------------  ≈ -------------------------------- ≈
                7,027 · 7,027 ·10^18 m^2                             4,94 · 10^17    s^2

8,05 · 10^-4 = 0,00805 m/s^2

Die Erde würde also gewaltig in Richtung des Sterns beschleunigt.
Der Stern selbst würde - salopp gesagt - kaum was merken.

Die Zahlen für G, Erd- und Sonnenmassen sowie Radien findest Du alle in wikipedia.
Ich hoffe mich nicht verrechnet zu haben (passiert leicht, daß man mal eine 10er Potenz falsch liegt, wenn man es so schnell-schnell mal ausrechnet).
Also besser alles nachrechnen, und prüfen ob ich nicht mal km mit m vertauscht habe (dann läge ich um den Faktor 1000 falsch...)


PS:
Du kannst die Erdbeschleunigung selbst ausrechnen, indem Du in die erste Formel oben die Erdmasse und den Erdradius (=Deine Entfernung vom Massenzentrum) einsetzt, und damit Deine Beschleunigung erhältst.
(Deine Masse kürzt sich raus), und Du erhältst die bekannten 9,8 m/s^2.

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Kommentar von Lulongwing
08.03.2016, 16:52

Vielen Dank :D 

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Kommentar von sarahj
10.03.2016, 12:22

oha - mir fällt nachträglich noch auf, daß Du ja einen Apfel mit 2 Sonnenmassen wolltest. Sorry.

Das wäre dann schon ein schwarzes Loch, und es treten ganz andere Effekte auf (für uns außen würde sich die Erde asymptotisch auf den Ereignishorizont hin bewegen, ihn aber nicht erreichen...)

Abgesehen davon, daß auf natürlichem Weg, bei 2 Sonnenmassen kein Schwarzes Loch entsteht. Dazu ist die Masse noch zu klein.
http://www.physi.uni-heidelberg.de/~eisele/physikb/sternentwicklung.pdf

Aber nehmen wir mal an, wir könnten mit einer Megapresse eines erzeugen... ;-D (very big smiley here - ist natürlich nicht möglich)

Du könntest klassisch ausrechnen, welche Beschleunigung die Erde erfahren würde - musst halt mit dem Apfeldurchmesser rechnen (und damit wird der Divisor r^2 viel kleiner, und die Ergebnisse damit unglaublich viel größer).

Aber wie gesagt: die Rechnung wäre falsch, weil obige Formeln nur in einem größeren Abstand vom Ereignishorizont stimmen.

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Ein Apfel mit der Masse zweier Sonnen und der Größe eines handelsüblichen Apfels wäre kein Apfel mehr sondern ein schwarzes Loch mit einen Ereignishorizont von etwa 30km Durchmesser.

Und was in der Nähe eines solchen passiert, ist von dem, was du dir unter einem "freiem Fall auf der Erdoberfläche mit gemütlichen 9.81m/s²" vorstellst, meilenweit entfernt. ;-)

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Um sich mit der Erde zu treffen, müsste der "Apfel" ja erstmal in unser Sonnensystem geraten. Abhängig von seiner Geschwindigkeit würde er erstmal die Planetenbahnen gründlich durcheinander bringen. Er wäre eine Konkurrenz für die Sonne als Mittelpunkt.

Da sich Sonne und "Apfel" gegenseitig viel stärker anziehen als die Planeten, würden sie zusammenstoßen oder in relativ engen Bahnen umeinander kreisen und so ein neues Zentrum des Sonnensystems bilden.

Die Planetenbahnen würden aufgrund der jetzt dreifachen Masse enger werden. Ein Zusammenstoß der Erde oder anderer Planeten mit dem "Apfel" wäre aber in etwa so unwahrscheinlich wie der jetzige "Fall" eines Planeten auf die Sonne.

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Nein, die Standardzahl 9,81 m/^2 bezieht sich nur auf Objekte, die nahe der Erdoberflaeche fallen.

Beide Koerper wuerden sich aufeinander bewegen, die Erde schneller als der "Apfel". Die genaue Zahl kann ich dir aber leider nicht sagen.

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Ich denke ein apfel mit zwei sonnenmassen würde sich erstmal garnicht um die erde scheren sondern die erde wüfde auf den apfel fallen. Da würde ich aber lieber nen schritt zurück treten.

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Kommentar von JTKirk2000
08.03.2016, 06:54

Da würde ich aber lieber nen schritt zurück treten.

Könntest Du dann nur leider nicht mehr. Erstens wäre der Apfel dann keiner mehr, sondern eine Sonne, und zweitens wäre die Sonne, wenn ich da den Fragesteller richtig verstehe, so nahe sein, dass Du ebenfalls zu dieser hingezogen wirst, und nicht zur Erde, auch wenn sie gerade noch direkt unter Dir war. Die Atmosphäre würde allerdings auch von der "Apfel"sonne angezogen werden, sodass man sich vermutlich keine Sorgen machen braucht, ob man gleich verdampft, denn wahrscheinlich ist man zumindest bereits erstickt - oder schlimmeres.

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Wenn ich es richtig verstanden habe, willst du einen Apfel mit der Masse von 2 Sonnen auf die Erde fallen lassen?
Glaube mir, dann gelten andere Gesetze, der würde sich wahrscheinlich bis zum Erdkern "durchbohren", die Erde hätte auf einmal eine viel Größere Masse, der Mond würde auf die Erde krachen, genauso wie eigentlich alle anderen Planeten im Sonnensystem samt Sonne herself :)

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