Matrizen lösen für Lineare Gleichungssysteme?

2 Antworten

Hallo,

es gibt unterschiedliche Lösungsverfahren für solche Matrizen.

Man könnte diese z.B. über Determinanten lösen.

Meistens nimmt man aber das Gauß-Verfahren, weil das relativ einfach anzuwenden ist und im Grunde nur die Rechenkünste eines Viertkläßlers benötigt.

Zunächst einmal schreibst Du die drei Gleichungen so übereinander, daß alles mit x in der ersten, alles mit y in der zweiten und alles mit z in der dritten Spalte steht.

Die vierte Spalte ist die mit den Zahlen hinter den Gleichheitszeichen.

Dabei werden nur die Zahlen notiert, x, y und z läßt man weg:

 3  4  1| 36
 6  4  2| 60
 7  4  5|100

Die senkrechten Striche trennen die Spalten der Variablen von der Spalte mit den Ergebnissen ab.

Nun gibt es verschiedene Dinge, die Du mit den einzelnen Zeilen anstellen darfst:

Du darfst Zeilen vertauschen.

Du darfst Zeilen miteinander addieren oder voneinander abziehen.

Du darfst die Zahlen einer Zeile mit einer Konstanten multiplizieren oder sie durch eine Konstante teilen.

Was Du nicht darfst:

Die Reihenfolge der Zahlen in einer Zeile vertauschen.

Nur einzelne Zahlen unterschiedlicher Zeilen miteinander addieren oder voneinander abziehen (subtrahieren)

Wenn Du also z.B. die zweite Zeile von der ersten abziehst, mußt Du jede Zahl, die in dieser Zeile steht, von der Zahl direkt über ihr abziehen.

Zeile I minus Zeile II würde dann  dieses Ergebnis haben:

-3 0 -1 -24, denn 3-6=-3, 4-4=0, 1-2=-1, 36-60=-24

Diese Operation wäre allerdings nicht besonders sinnvoll. Das war lediglich ein Beispiel.

Viel wichtiger ist das, was Du durch die Umformungen erreichen möchtest:

Das Ziel ist, in der letzten Zeile links vom Strich nur noch eine Zahl stehen zu haben, ansonsten Nullen.

In der vorletzten Zeile sollen zwei Zahlen und eine Null links vom Strich stehen, die erste Zeile kann bleiben, wie sie ist.

Du bekommst also ein Dreieck von Nullen. So kannst Du in der letzten Zeile eine Variable direkt bestimmen, weil sie als einzige übrig ist, die setzt Du dann in die vorletzte Zeile ein und bestimmst so eine weitere Variable, bis Du beide in Zeile I einsetzt und so auch die dritte Variable bestimmen kannst und die Lösung - so es eine gibt - gefunden hast.

Praktisch geht das so (ich gehe jetzt nach einem Schema vor, das mir am Ende folgende Matrix liefert, wobei die x für irgendwelche Zahlen stehen, die auch unterschiedlich sein können:

x  x  x |x
0  x  x| x
0  0  x| x

Wie gesagt: Wichtig sind hier nur die Nullen, für x können irgendwelche Zahlen stehen, die ganz unterschiedlich sein dürfen.

Wie komme ich auf die Nullen?

Indem ich zwei Zeilen so addiere oder subtrahiere, daß als Ergebnis an der ersten Stelle eine Null erscheint (im ersten Rechenschritt).

Da natürlich nicht immer gleiche Zahlen übereinanderstehen, so daß ich die eine einfach von der anderen abziehen muß, um auf Null zu kommen, multipliziere ich eine oder auch beide Zeilen, die ich miteinander verrechne, mit passenden Konstanten (das darf ich).

Ich habe in der Ursprungsmatrix oben und Mitte links die 3 und die 6 übereinanderstehen.

In der zweiten Zeile sind nur gerade Zahlen. Es bietet sich also an, diese Zeile einfach zu halbieren. So wird aus der 6 eine 3, die ich dann bequem abziehgen kann, um auf Null zu kommen.

Zunächst halbieren wir die zweite Zeile.

Nun siehst die Matrix so aus:

 3  4  1| 36
 3  2  1| 30
 7  4  5|100

Wichtig ist, daß Du wirklich jede Zahl der zweiten Zeile halbierst, auch die 60 rechts vom Strich. Nur so bleibt die Zeile insgesamt die gleiche.

Wenn Du nun die zweite von der ersten Zeile abziehst, bekommst Du folgendes:

 3  4  1| 36
 0  2  0|  6
 7  4  5|100

Nun haben wir zufällig zwei Nullen in der zweiten Zeile und könnten direkt sagen, daß y=3 ist, denn 2*3=6 und die zweite Spalte ist die, die für y zuständig ist.

Die Zahlen links sind ja nur die Faktoren, die vor den Variablen stehen.

Auch wenn wir x, y und z nicht in die Matrix schreiben, sind sie unsichtbar doch vorhanden. Jede Zeile ist lediglich die Kurzschreibweise für eine Gleichung:

Die erste: 3*x+4*y+1*z=36

Hier könnten wir für y sogar schon eine 3 einsetzen, hätten es aber immer noch mit x und z zu tun, wir sind also noch nicht fertig. Außerdem wollten wir nach einem Schema vorgehen.

Der zweite Schritt muß eine Null unten links ergeben, also da, wo im Moment noch die 7 steht.

Dazu müssen wir Zeile I und III miteinander verrechnen.

Leider ergibt 3-7 oder 3+7 nicht Null und es gibt auch zumindest keinen ganzzahligen Faktor, der die 3 zur 7 oder die 7 zur 3 macht. Du kannst natürlich mit 3/7 oder 7/3 arbeiten. Dann hast Du aber überall Brüche stehen, was das Rechnen unnötig erschwert und fehleranfällig macht.

Wir suchen also das kleinste gemeinsame Vielfache von 3 und 7. Das ist 21.

Wir multiplizieren also die erste Zeile mit 7, denn 3*7=21,

die dritte mit 3, denn 7*3 ergibt auch 21:

Dann bekommen wir folgendes:

21  28    7| 252
  0    2    0|     6
21  12  15| 300

I-III ergibt 0 16 -8| -48, was wir locker durch 8 teilen können, um kleinere Zahlen zu erhalten: 0  2  -1| -6

Auch die erste Zeile schreiben wir wieder in der ursprünglichen Gestalt auf, indem wir sie wieder durch 7 teilen:

3  4  1| 36, denn was sollen wir mit so großen Zahlen, wenn wir keinen Taschenrechner zur Verfügung haben?

Die neue Matrix:

3  4  1| 36
0  2  0|   6
0  2 -1|  -6

Nun verrechnen wir noch Zeile II und Zeile III.

Da in der linken Spalte zwei Nullen übereinanderstehen, können wir beide Zeilen mit beliebigen Faktoren multiplizieren: die Nullen bleiben.

Deshalb mußt Du immer so vorgehen, daß Du zunächst zwei Zeilen mit zwei Nullen übereinander erhältst, ansonsten würde beim Verrechnen eine der Nullen wieder verschwinden und Du könntest von vorne anfangen.

Zeile III-Zeile II

0  0  -1|-12

Die endgültige Matrix in der Dreiecksform:

3  4  1| 36
0  2  0|   6
0  0 -1|  -6

Daß in der zweiten Zeile auch zwei Nullen stehen, hat sich halt ergeben, stört hier aber nicht weiter.

Im Gegenteil: Nun können wir die Lösungen für y und z direkt ablesen:

z=12, denn -1*12=-12

y=3, denn 2*3=6 (Das wußten wir ja bereits).

Nun schnell y und z in die erste Zeile eingesetzt:

3x+4*3+1*12=36
3x=12
x=4

x=4, y=3 und z=12 ist die Lösung, das bestätigt mir auch mein Rechner.

Das Tolle an diesem Verfahren ist: Das funktioniert auch mit mehr als drei Unbekannten, solange Du soviel Zeilen wie Unbekannte hast.

Nicht immer geht die Sache auf. Es können auch mal Zeilen mit lauter Nullen auftauchen oder so etwas wie 2=2. Dann ist die Sache nicht eindeutig lösbar, falls Du Dich nicht verrechnet hast. Passiert und ist nicht weiter tragisch.

Wenn Du z.B. Geraden hast, die windschief sind und sich nicht schneiden, wirst Du auch keine Lösung finden, wenn Du ihre Gleichungen gleichsetzt.

Sind die Geraden identisch, findest Du unendlich viele Lösungen usw.

Jedenfalls hast Du nun ein Schema, nach dem Du narrensicher vorgehen kannst. Denk dran, in den Zeilen zu kürzen, wenn's geht, so bleiben die Zahlen, mit denen Du zu rechnen hast, schön klein.

Herzliche Grüße,

Willy

Der TI83 kann das Gleichungssystem lösen, indem Du es als Matrix eingibst,  - hier sind es drei Zeilen und vier Spalten, für jede Gleichung eine Zeile.

Für die Lösung ohne Rechner brauchst Du doch keine Matrix, oder ?

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Wir dürfen keinen Taschenrechner verwenden... und wir müssen es mit matrix lösen können...

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31
@Fuchsi2001

Das tut mir Leid, so eine Aufgabe hätte ich als Lehrer nicht aufgegeben, es verwirrt nur, Natürlich kannst Du +,-,=, a,b,c einfach weglassen und trotzdem dieselben erlernten Verfahren anwenden, als wären es Gleichungen. Die allerdings will Ich Dir hier nicht beibringen, das führt jetzt zu weit.

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31
@Ottavio

Pardon, Minuszeichen darfst Du natürlich nicht weglassen. Sie werden dann zu Vorzeichen.

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33
@Ottavio

Das tut mir Leid, so eine Aufgabe hätte ich als Lehrer nicht aufgegeben, es verwirrt nur,

 Ich denke, es führt eher zum mathematischen Verständnis, was beim Lösen vor sich geht. Erst dann sollte man den Rechner benutzen. Man fährt ja auch nicht schon Auto, bevor man Laufen gelernt hat.

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31
@Wechselfreund

Ich meine nicht, dass das Lösen eines linearen Gleichungssystems "von Hand" nur verwirrt. Ich meine allerdings, dass es nur verwirrt, wenn man dabei die Platzhalter fortlässt. Freilich, wenn man einen Algorithmus verwendet, bei dem man alles immer wider neu aufschreibt, ist das nicht so verwirrend, aber zeitaufwendiger, als wenn man die Platzhalter dazuschreibt.

Das Verfahren lernt man in der neunten Klasse. Die Verwendung des GTR kommt erst später dazu. Bis zum Abis sollte man das aber können, weil es in den Zentralen Abituraufgaben vorausgesetzt wird und man sonst einen deutlichen Nachteil hat.

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