Matrixprodukt invertieren?

2 Antworten

Du willst ein Produkt von Matrizen invertieren? Das geht, aber man muss die Reihenfolge vertauschen. D.h. dann (B'B)^(-1) = B^(-1)*B'^(-1).

9

Kannst du mir bitte mal den Link schicken wo du diese Lösung herhast?

0
9
@RedDevil1982

Unter Matrizenregeln hab ich dazu nichts gefunden, wenn man (B'B)^-1 inveriert

0
11
@RedDevil1982

Nun das ist eine Eigenschaft von Gruppen, und die Menge der invertierbaren Matrizen bildet die so genannte allgemeine lineare Gruppe.

Für zwei Matrizen A und B musst du immer die Reihenfolge vertauschen, wenn du das Produkt AB invertierst .(AB)^(-1)=B^(-1)*A^(-1)

0

A und B sind symmetrische reelle Matrizen, und es gilt A⁻¹=Bᵀ⋅B, da B symmetrisch ist gilt Bᵀ=B und daher A⁻¹=B². Also ist A=(B²)⁻¹=(B⁻¹)². Bist Du sicher, daß B sym­me­trisch sein sollte?

9

Über B sind keine genauen Informationen angegeben in der Aufgabe. Normal steht B sogar für Gamma und die Aufgabe heißt

A^(-1) = gamma'*gamma

0
47
@RedDevil1982

Woher weißt Du dann überhaupt, daß B (oder γ) eine Matrix ist? Könnte ja auch ein Vektor sein. Nebenbei, schreibt ihr wirklich einen Apostroph für die Transposition? Das habe ich noch nie gesehen.

Anyway: Wenn B≠Bᵀ, dann A = (Bᵀ⋅B)⁻¹ = B⁻¹⋅(Bᵀ)⁻¹ = B⁻¹⋅(B⁻¹)ᵀ, denn Trans­posi­tion und Inversion sind vertauschbar, und (X⋅Y)⁻¹=Y⁻¹⋅X⁻¹, genauso wie (XY)ᵀ=YᵀXᵀ.

0
9
@indiachinacook

Es geht hier um den Beweis dass eine Matrix positiv definite ist.

Satz 2 Die symmetrische Matrix A sei positv definit. Die Differenz (I - A) ist genau dann positv definit, wenn (A^-1 - I) positiv definit ist. I ist die Einheitsmatrix

Nun definiert er A^-1 = gamma'*gamma als ersten Schritt invertiert er den gesamten Ausdruck. Jetzt wird angegeben

A = gamma^-1 * gamma'(-1)

(Bᵀ⋅B)⁻¹ = B⁻¹⋅(Bᵀ)⁻¹ von dir ist richtig. Kannst du mir hierzu die Rechenregeln angeben wo ich solle Sachen nachlesen kann.

0
47
@RedDevil1982

Rechenregel? Das sieht man doch sofort. Nimm drei beliebige quadratische reguläre Matrizen mit C=A⋅B. Und jetzt dividiere alle Matrizen auf die Gegenseite: A⁻¹⋅C=B und A⁻¹=B⋅C⁻¹ und schließlich C⁻¹=B⁻¹⋅A⁻¹, und da ist es schon weil C=(C⁻¹)⁻¹

1
47
@RedDevil1982

Du weißt aber, daß man eine Matrixgleichung mit einer Matrix multiplizieren kann? Also kann auch C=A⋅B umformen, indem ich von der rechten Seite mit B⁻¹ multi­pliziere, dann krieg ich A⋅B⁻¹=A⋅B⋅B⁻¹=A. Wenn man dieses Spiel zweimal wieder­holt, landet man bei C⁻¹=B⁻¹⋅A⁻¹. Aus der ersten Gleichung kann ich natürlich auch C⁻¹=(A⋅B)⁻¹ machen, und da die beiden C⁻¹ gleich sind, folgt (A⋅B)⁻¹=B⁻¹⋅A⁻¹.

1
9
@indiachinacook

Danke! Ich mach an der Uni Öko2, ist nicht einfach da immer nachzuvollziehen was da vor sich geht, wenn man die Grundkenntnisse nicht hat.

0
9
@RedDevil1982

Hallo @indiachinacook,

du kennst dich annscheinend mit Statistik ganz gut aus, ich habe eine neue Frage eingestellt. Es wäre nett, wenn du dir diese mal anschauen würdest.

MFG

0

3x3 Matrix Invertierbarkeit zeigen, genau dann wenn 2x2 Matrix invertierbar ist?

Hallo,

es geht um folgenden hypothetischen Sachverhalt:

Ich habe eine 3x3 Matrix gegeben, wobei ein Wert eine Variable ist. Außerdem ist eine 2x2 Matrix gegeben, die in der 3x3 Matrix enthalten. In dieser 2x2 Matrix ist auch diese Variable aus der 3x3 Matrix vorhanden.

Nun soll ich beweisen, dass die 3x3 Matrix genau dann invertierbar ist, wenn die 2x2 Matrix es ist und eine Lösungsmenge angeben.

..Ich weiß, dass Matrizen invertierbar sind, wenn det ungleich 0 gilt. Ich weiß auch, dass man eine 3x3 Matrix umschreiben kann in drei 2x2 Matrizden, weiß aber nicht, ob mir das etwas bringt beim Lösen der Aufgabe. Ich konnte nicht zeigen, dass "genau dann wenn" die Invertierbarkeit der einen einen Matrix gilt, auch die andere invertierbar sein muss. Hat vielleicht jemand einen Tipp oder einen Denkanstoß?

...zur Frage

Was möchtest Du wissen?