Matheproblem mit der Funktion: f(x) = -0,02x^5+0,25x^4-0,8x^3-1

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2 Antworten

Ich argumentierte hauptsächlich mit f', weil das wohl zum grundsätzlichen Verständnis am meisten beiträgt. Die Antwort ist so gemacht, dass es sich lohnen sollte, sie Schritt für Schritt mit genauer Vorstellung nachzuvollziehen.


f '(x) = -0,1x^4 +x^3 -2,4x^2

= ( -0,1x² +x -2,4 ) x²;

  • f'(x) hat die doppelte Nullstelle x1,2 = 0;
  • die Funktion g(x) = -0,1x² +x -2,4 ist eine nach unten geöffnete Parabel und teilt mit f(x) die Nullstellen x3 = 4 und x4 = 6 (pq-Formel).

1) Eine mehrfache Nullstelle einer ableitbaren Funktion (hier: f') ist auch Nullstelle der Ableitung (hier: f''). f' hat bei Null also eine waagrechte Tangente.

Sei U(0) eine hinreichend kleine Umgebung von x = 0. - Da

  • g(x) überall in U(0) negativ ist und
  • x² ist für alle x ≠ 0 aus U(0) positiv ist,
  • ist auch f'(x) für alle x ≠ 0 aus U(0) negativ .

Also berührt f'(x) bei x = 0 die x-Achse (in einem Maximum) von unten. Deswegen

  • hat f bei x = 0 einen Wendepunkt ( = Extremum der Ableitung f') , der
  • gleichzeitig Terrassenpunkt ist. ( = Extremum der Ableitung, in welchem diese die x-Achse berührt).

2) x = 4 ist eine weitere Nullstelle der Ableitung, bei der diese (wie g(x)) das Vorzeichen von - nach + wechselt.

Im Einzelnen argumentierst du wieder mit dem Verhalten von g(x) und von x², diesmal in einer hinreichend kleinen Umgebung von x = 4.

Also hat f bei x = 4 ein Minimum.


3)

  • Da x = 0 und x = 4 Nullstellen von f' sind und
  • f' rechts von 0 wie auch links von 4 negativ ist,
  • muss f' in ]0; 4[ ein Minimum haben. Mit

f'' (x) = -0,4x^3+3x^2-4,8x = (-0,4x² +3x-4,8 )x =

-0,4x(x - 2,31386)(x -5,18614) [Nullstellen für die Linearfaktioren mit pq-Formel]; (1)

liegt dieses bei x = 2,31386. - Diese Minimum von f' ist eine Wendepunkt von f.


4) x = 6 ist eine weitere Nullstelle der Ableitung, bei der diese (wie g(x)) das Vorzeichen von + nach - wechselt.

Im Einzelnen argumentierst du wieder mit dem Verhalten von g(x) und von x², diesmal in einer hinreichend kleinen Umgebung von x = 6.

Also hat f bei x = 6 ein Maximum.


5)

  • Da x = 4 und x = 6 Nullstellen von f' sind und
  • f' rechts von 4 wie auch links von 6 positiv ist,
  • muss f' in ]4; 6[ ein Maximum haben.

Mit (1) liegt dieses bei x = 5,18614.

Dieses Maximum von f' ist ein (weiterer) Wendepunkt von f.


6) Für x < 0 und x > 6 hat f'

  • weder weitere Nullstellen (die Extrema oder Terassenpunkte von von f sein könnten)
  • noch weitere Extrema (die Wendepukte von f sein könnten und Nullstellen von f'' sein müssten).

Ich danke dir für die Mühe

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@MrBombastick

... ;) Bringt es denn auch etwas? Ich denke mal, wenn du dich da einmal "durchkämpfst", bist du einen Schritt weiter.

Rückfragen werden bei Bedarf beantwortet.

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Ja Ableitungen der Funktion bilden n *ax^(n-1) + ...

dann die 1. Ableitung mit Null gleichsetzen und nach x auflösen -->Extrempunkte

diese X-Koordinaten in die 2. Ableitung einsetzen -->f´´(Xe) < 0 -->Hochpunkt -->f´´(Xe) >0 -->Tiefpunkt

Wendepunkte: 2. Ableitung mit 0 gleichsetzen und nach x auflösen Xw in 3. Ableitung einsetzen: f´´´(Xw) ungleich Null -->Wendepunkt

Sattelpunkt: f´(x) =0 undf´´(Xe)=0

haha stimmt danke hab vergessen das ich das sogar kann haha :D

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