mathematisches Problem -- keine Hausafgabe

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6 Antworten

f´´' (0) > 0 --> Tiefpunkt (Minimum)

Hier eine Eselsbrücke für den Charakter der Extrema:
f '' negativ (a - i) —> Maximum
f '' positiv (i - i) —> Minimum


Eine notwendige Bedingung liegt immer vor, wenn sie Voraussetzug für etwas ist.
Aber häufig ist es so, dass diese Bedingung auch für andere Schlüsse gilt.
f ' (x) = 0 ist zum Beispiel auch notwendig für einen Sattelpunkt. Wenn du also nur diese Bedingung prüfst, könnte beides vorliegen.
Deshalb brauchst du weitere Kriterien, die dann hinreichend für den Charakter sind, z.B. die zweite Ableitung. Wenn diese auch Null ist, lässt es auf einen Sattelpunkt schließen. Die Bedingung für ein Extremum kennst du ja.

In der Mathematik heißt eine Bedingung A für eine Folgerung B notwendig, wenn A unbedingt gelten muss, damit auch B gilt.

Hier: Wenn an einer Stelle ein Extremum liegen soll, dann muss dort die Ableitung = 0 sein. Ist dort die Abbildung nicht 0, kann dort kein Extremum liegen. ABER: auch wenn die Ableitung = 0 ist, muss dort kein Extremum sein.

Anderes Beispiel: Um Lehrerin zu werden, ist es in Deutschland notwendig, ein Hochschulstudium zu absolvieren, ohne Hochschulstudium kann man nicht Lehrer werden. Aber umgekehrt kann man nicht schließen, dass jemand mit Hochschulstudium unbedingt Lehrer sein muss.

Hinreichend dagegen ist eine Bedingung, wenn aus ihr die Folgerung direkt folgt: Ist die Ableitung gleich Null und die zweite Ableitung ungleich Null -> dann haben wir dort ein Extremum. Habe ich aber ein Extremum, dann kann ich das nicht umdrehen - ich weiß nicht sicher, ob dort die zweite Ableitung ungleich Null ist.

Anderes Beispiel: Eine hinreichende Bedingung für Trinken von Bier in der Öffentlichkeit ist es, dass der Trinkende 25 Jahre alt ist. Wer 25 Jahre alt ist, darf Bier in der Öffentlichkeit trinken. Daraus, dass jemand Bier in der Öffentlichkeit trinken darf, kann ich aber nicht schließen, dass er 25 Jahre alt ist - denn laut Jugendschutzgesetz darf er das ja schon mit 16.

Die notwendige Bedingung ist: f '(x) = 0

(Die Steigung muss null sein, damit dort ein Hoch- oder Tiefpunkt liegen kann. Ist die Steigung nicht null, kann dort niemals der höchste oder tiefste Punkt liegen. Es ist also dringend notwendig, dass f '(x) = 0 ist.)

Das ist jedoch nicht ausreichend, dass an diesen Stellen tatsächlich ein Hoch- oder Tiefpunkt ist. Deshalb ist es erst hinreichend gesichert, wenn die zweite Ableitung positiv oder negativ ist. Die hinrechende Bedingung ist:

f''(x) > 0 --> Graph macht eine Linkskurve --> Tiefpunkt

f''(x) < 0 --> Graph macht eine Rechtskurve --> Hochpunkt

Erstmal bedeutet f ''(0)>0, dass es sich um einen Tiefpunkt handelt, sieht man ja auch bei der Parabel. Deine Berechnungen sind sonst alle richtig. "notwendig" bedeutet hier, dass es sich nur dann um einen Extrempunkt handeln kann, wenn f'(x)=0 gilt. Denn wäre f ' (x) nicht 0, dann ists auch kein Extremum. "Hinreichend" bedeutet hier, dass es ausreicht, zu zeigen, dass f ''(x) ungleich 0 ist.

Habe ich das erstmal richtig verstanden ?

Ja.

Was ich allerdings nicht verstehe ist, was ist mit notwendig und hinreichend in diesem Zusammenhang gemeint ?

Sicherlich das mehrere Randbedingungen notwendig sind, um hinreichend viele Informationen zu haben. Lesen Sie mal irgendwo im Netz was gelten muss. Für Wendepunkte sind mehrere Bedingungen nötig.

www.mathematik-wissen.de/wendepunkt.htm

Unter Wikipedia siehe Extremwerte, steht es auch.

MFG.

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