Mathematischer Beweis: 999 Teiler von 1000! (fakultät)

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7 Antworten

Nun zum Beweis: alle Faktoren, die miteinander multipliziert werden zu 1.000!, sind natürliche Zahlen, und zwar alle Zahlen von 1 bis 1.000. Diese kannst du auffassen als eine Menge M natürlicher Zahlen, und zwar solcher, die eine Bedingung erfüllen: nämlich sie sind >= 1 und <= 1.000 (oder: > 0 und < 1.001; läuft auf's selbe raus): richtig? 1.000! ist durch jedes Element dieser Menge - nämlich jede Zahl, die >= 1 und zugleich <= 1.00 ist - teilbar; also auch durch 999; schließlich gilt ja 1 <= 999 <= !:000: Dann 999² - wäre ja 999 x 999 - allerdings gibt's in M nur ein 999. - Aber vielleicht gibt's darin ja auch andere Elemente (Zahlen), die als Faktoren miteinander multipliziert wieder 999 ergeben - so wie 9 x 111 zum Beispiel - oder 3 x 333 ...

Eine recht einfache Logik eigentlich - nur erst mal ungewohnt, Alltagssprache ist nicht so genau (dafür glexibler); diesen Unterschied musst du ein wenig üben. Wörter wie 'Menge' fasse als in der Mathematik als Vokabel auf solch Wörter haben in Mathe eine ganz genaue Bedeutung, die vom Alltagssprachgebrauch abweichen kann. Und eine Menge besteht aus 'Elementen': so heißt dass nun mal, was da rein gehört - mathesprachlich gesehen darfst du dich also als 'Element' der Menschheit betrachten. Was dir zeigen soll: Geheimnisse stecken nicht dahinter (ist oft sogar trivial) - nur Mathe-Sprachbedeutung musst du halt lernen.

beim letzten Teil will ich mal helfen:
999³=997002999 Primfaktorenzerlegung:
=3^9 * 37^3 = 3 * 9 * 729 * 37 * 1369 letzte Zahl zu groß, also 37² aufteilen:
= 729 * 37 * 111 * 333
alle Faktoren sind also im Produkt von 1 bis 1000 enthalten!

Tja, wenn man 1000! richtig schreibt und dann noch versteht, was da steht- sollt's eigntlich schon klar sein: also 1.000! = 1 x 2 x 3 x ... x 999 x 1.000 1.000! ist also eine Zahl, und zwar eine ziemlich große - weil ja ein Produkt aus vielen Zahlen. Ein Produkt wird gebildet aus 'Faktoren' (so heißen die Zahlen allgemein), die miteinander plutimiziert werden (oda wie das heißt). Könnte es sein, dass ein Produkt durch einen Faktor, der zu seinem Wert beiträgt, auch wieder geteilt sein kann?

Bei 1000! werden ja alle Zahlen mitrinander multipliziert. Da auch 999 mit den anderen Zahlen multipliziert wird, kann sie auch dividirért werden.Sie ist ein Teiler.

Naja logisch betrachtet kommt 999 ja genau einmal in 1000! vor. Dann kommen da noch 333 und 3, sowie 111 und 9 vor. Mathematisch weiß ich gerade nicht, wie man das beweist.

micha39 28.01.2013, 20:05

Um das zu beweisen, würde ich 1000! als Produkt schreiben, also

1000! = 9 * 111 * 3 * 333 * 999 * x

x man dann natürlich noch richtig bestimmen. Auf jeden Fall sieht man dann, dass 999 und das ganze hoch zwei und hoch drei Teiler von 1000! sind.

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hypergerd 28.01.2013, 21:02
@micha39

micha39 beste Antwort, weil sie alle 3 Teilaufgaben mit einmal übersichtlich und kurz anzeigt:
1000! = (9 * 111) * (3 * 333) * 999 * x
... nur bei Kommentar kann man keine Punkte vergeben...(dafür kleiner Daumen)

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lalilololila 28.01.2013, 22:18

DANKE DANKE DANKE

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Mach dir mal den Begriff Fakultät und den Teilbarkeitsbegriff klar.

3! = 1x2x3 Hier sind die Teiler 1,2,3 Beispielsweise 2 ist Teiler von 3! da 1x2x3=3! =2x(1x3) (Vielleicht sieht man es so besser)

Wenn du n! betrachtest, ist jede Zahl von 1 bis n Teiler von dieser.

Also ist 999 auch Teiler von 1000!= 999x(1x2x3x.....x998x1000) = 999x1000x 998!

Deine Frage ist also, wie du zeigen kannst das 1000! durch 999 teilbar ist?

Schreibe es als Bruch: (1 * 2 * 3 *... * 999 * 1000) / (999), so jetzt kannst du kürzen ;)

MathPhy 29.01.2013, 20:21

Genau so geht es auch bei den anderen Teilaufgaben:

(1 * 2 * 3 * ... * 333 * ...* 999 * 1000)/(999 * 999)= Ganze Zahl (durch Kürzen)

Entsprechend auch bei 999^3

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