Mathematische Frage! Kann mir jemand helfen? (:

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3 Antworten

A. Eine Gleichung kann nicht monoton sein. Der Begriff bezieht sich auf Funktionen, insbesondere auch auf Folgen.

B. In >http://de.wikipedia.org/wiki/Monotonie_%28Mathematik%29#Definitionen steht eine Formel, mit der du rechnerisch entscheiden kannst, ob eine Funktion monoton ist oder nicht.

Einfaches Beispiel: Ich will das Monotonieverhalten von f(x) = x² für x > 0 monoton ist.

Sei b > a > 0. Dann ist mit der dritte binomischen Formel:

f(b) - f(a) = b² - a² = (b -a)(b +a).

Wegen b > a ist b - a > 0.

Weil b und a positiv sind, ist auch b +a > 0.

Weil beide Faktoren positiv sind, ist dann auch (b-a)(b+a) = f(b) - f(a) > 0, also f(b) > f(a).

Ergebnis: Die Funktion f(x) = x² ist für x > 0 streng monoton steigend.

C. Du könntest zur Übung z.B. nachweisen, dass f(x) = x² für x < 0 streng monoton fallend ist. Geht ganz entsprechend.

D. Wenn du schon Differenzialrechnung hattest, ist es einfacher:

Eine differenzierbare Funktion ist in genau den Intervallen monoton steigend (bzw. streng monoton steigend), in denen ihre Ableitung nicht negativ ist (bzw. positiv ist). Entsprechend ist eine differenzierbare Funktion ist in genau den Intervallen monoton fallend (bzw. streng monoton fallend), in denen ihre Ableitung nicht positiv ist (bzw. negativ ist).

Zur Entwirrung, wenn dir das vielleicht nicht so geläufig ist: "nicht negativ" bedeutet "positiv oder Null.

Beispiel: Die Funktion f(x) = x³ ist in ganz R monoton steigend, denn ihre Ableitung f'(x) = 3x² ist nirgendwo negativ.

Ableitung berechnen - die gibt an, wo welche Steigungen vorliegen...

Eine Funktion! (nicht Gleichung) lässt sich auf Monotonie überprüfen. Beispiel: f(x) = (x-2)(x+3) In welchem Bereich ist die Funktion streng monoton steigend?

Ableitung berechnen: f ' (x) = 2x+1

Die Ableitung gibt dir immer die Steigung an, diese soll größer Null sein, damit f(x) stetig steigt. (streng monoton steigend)

f '(x) > 0

2x+1 > 0 Anweisung: -1

2x > -1 Anweisung: /2

x > -1/2 Überall wo x größer als -1/2 ist, ist die Funktion streng monoton steigend.

Wenn du streng monoton fallend nachweisen willst dann gilt: f ' (x) < 0

monoton fallend f ' (x) <= 0

monoton steigend f '(x) >= 0

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