Mathematikproblem: Logik / Mengenlehre?

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2 Antworten

M := {3; 6; 9}

(1) ∀x∈M: A(x)

In Worten bedeutet das: "Jedes Element aus M ist ungerade und durch 3 teilbar". Dies trifft aber nicht zu, da die 6 gerade ist.

Die Negation einer Allaussage ist eine Existenzaussage.

Also:

_________                  ___
∀x∈M: A(x) = ∃x∈M: A(x)

In Worten: "Es existiert mindestens ein x aus M, für das A(x) nicht gilt, das also gerade oder nicht durch 3 teilbar ist."

(2) ∃x∈M ∀y∈M: x ≥ y

Das bedeutet in Worten: "Es existiert ein Element in M, sodass für alle Werte in M gilt, dass dieser Wert größer oder gleich diesem Wert ist."

Das trifft zu, denn:

9 ≥ 3
9 ≥ 6
9 ≥ 9

Die Negation einer Existenzaussage ist eine Allaussage.

Also:

________________
∃x∈M ∀y∈M: x ≥ y

              __________
= ∀x∈M ∀y∈M: x ≥ y

                           ____
= ∀x∈M ∃y∈M: x ≥ y

= ∀x∈M ∃y∈M: x < y

In Worten "Für jedes Element aus M gibt es ein größeres Element aus M."

Wichtig sind folgende beide Dinge:

Die Negation einer Allaussage ist eine Existenzaussage.

Die Negation einer Existenzaussage ist eine Allaussage.

Kurz erklärt:

Wenn du etwas für alle x aussagst und das negierst, heißt das, dass es nicht für alle x gilt, dass  also mindestens ein x existiert, für das das nicht gilt.

Wenn du sagst, dass etwas mit einer bestimmten Eigenschaft existiert und das negierst, heißt das, dass ein kein x gibt, für das diese Eigenschaft gilt, dass also für alle x diese Eigenschaft nicht gilt.

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, nur her damit! :) 

LG Willibergi

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Kommentar von gumpo03
18.10.2016, 11:04

Danke für die Antwort, die hat mir sehr geholfen :)

Eine Frage habe ich aber tatsächlich: Warum wird bei der zweiten Negation aus x≥y x<y? Müsste nicht eigentlich y≥x daraus werden?

Ich kann mir das nur so erklären dass x≥y den gleichen Wert beider Variablen als Wahren Wert einschließt und ich bei einer Negierung diesen dann ausschließen muss. Müsste ich dann bei einer Negierung von x<y auch x≥y erhalten?

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(1) Du hast recht, die Aussage ist falsch. Mal in Worten: 

Die Aussage "Für alle x aus M gilt, dass x ungerade und durch 3 teilbar ist." ist falsch. 

Wann ist so eine Aussage falsch? Naja dann, wenn es mindestens ein x gibt, dass diese Bedingungen nicht erfüllt. (Das ist in diesem Fall ja die 6. )

Entsprechend ist die Formulierung der Negation in Zeichen: 

∃x ∈ M: ˥A(x)

(wobei ich mit ˥A(x) Nicht-A(x) meine, ich weiß ja nicht, welche Notation ihr benutzt). 

Allgemein: Die Negation von "Alle x erfüllen Eigenschaft A(x)" ist "Es existiert ein x, das A(x) nicht erfüllt". 

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Kommentar von FataMorgana2010
18.10.2016, 02:53

Und (2): 

∃x ∈ M∀y ∈ M : x ≥ y

Das bedeutet in anderen Worten: Es gibt ein Element in der Menge M, so dass alle Elemente von M kleiner (oder gleich) diesem Element sind. 

Das stimmt. Dieses x ist 9. Denn für alle y aus der Menge (und das sind ja 3, 6, und 9) ist 9 größer. 

Was wäre hier das Gegenteil? Noch mal genau überlegen: 

Es gibt ein Element der Menge ... so dass alle Elemente... 

Das kann man dann so umdrehen: 

Für alle Elemente x aus M gibt es ein y aus M, so dass x kleiner ist als y. 

∀x ∈ M ∃y ∈ M: x < y. 

Diese Aussage ist falsch (klar, denn das Gegenteil ist ja richtig). Für x=9 gibt es ja kein y, so dass 9 < y. 

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