Wie funktioniert das mit der zweiten Ableitung bei dieser Aufgabe?

Hier ist die Aufgabe 4 - (Mathematik, Analysis, zweite Ableitung)

3 Antworten

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Die Frage an sich ist relativ einfach. Ist f(x) oder f’(x) oder f’’(x) positiv oder negativ? (also über oder unter der x-Achse).

Bei f(x) kannst du das einfach ablesen. Als Beispiel mache ich das mal mit a) da diese auch die leichteste ist. Also A ist ganz klar negativ und B null. C hingegen ist positiv. Klar soweit?

f’(x) ist die erste Ableitung und gibt die Steigung im jeweiligen Punkt von f(x) an. Also ist f’(x), da wo f(x) steigt, positiv und da wo f(x) fällt, negativ. Wieder zu a). Bei A steigt die Funktion. Also ist f’(x) positiv. Bei B und C ist es das gleiche.

Nun zu f’’(x). Das ist jetzt etwas komplizierter. f’’(x) hat da, wo f(x) eine Wendestelle (oder Sattelpunkt) hat eine Nullstelle. Wenn die Richtung in der Wendestelle von rechts nach links wechselt, dann ist f’’(x) links von der Wendestelle negativ und rechts davon positiv. Wenn die Richtung von links nach rechts ändert, genau andersherum.

Dieses Bild hilft beim Verstehen
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/29/Ableitungsss.svg

Bei a) wissen wir nicht, ob es eine Funktion zweiten oder vierten (oder 2n-ten) Grades ist. Da sich aber die Richtung (wenn sie sich denn geändert hat) von links nach rechts geändert hat, ist f’’(x) in allen drei Punkten positiv.


Falls du noch Fragen hast oder Hilfe braucht, schreib mich ruhig an ;-)

Vielen Dank für deine schnelle und sehr hilfreiche Antwort !!!
Danke !!!!!!!!!!! :)

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Aufgabe 4a)

Der Graph ist eine Linkskurve, daher gilt f '' (x) > 0 für alle x.

Der Graph ist streng monoton wachsend, daher gilt f ' (x) > 0 für alle x.

Der Punkt A hat eine negative y-Koordinate, daher f (x) < 0 im Punkt A.

Der Punkt B hat die y-Koordinate 0, daher f (x) = 0 im Punkt B.

Der Punkt C hat eine positive y-Koordinate, daher f (x) > 0 im Punkt C.

Aufgabe 4b)

Der Graph ist eine Rechtskurve bis zum Punkt D und ab dort eine Linkskurve, daher gilt f '' (x) < 0 in den Punkten A, B und C. Und es gilt f '' (x) > 0 in den Punkten E und F. Im Punkt D gilt f '' (x) = 0, weil im Punkt D der Übergang von Rechts- in Linkskurve stattfindet.

Der Graph ist monoton wachsend bis zum Punkt C und ab dem Punkt E. Zwischen den Punkten C und E ist der Graph monoton fallend. Daher gilt f ' (x) < 0 im Punkt D. Weiter gilt f ' (x) > 0 in den Punkten A, B und F. In den Punkten C und E gilt f ' (x) = 0, denn in C und E ist die Steigung jeweils 0.

Es gilt f (x) > 0 in C, D und F, f (x) < 0 in A, f (x) = 0 in B und E.

f(x) ist der mathematische Ausdruck für den Graphen.
Wenn der Graph sich unterhalb der x-Achse befindet, ist f(x) negativ. Wenn der Graph sich oberhalb der x-Achse befindet, ist f(x) positiv und wenn der Graph die x-Achse schneidet, gilt f(x)=0.

f'(x) beschreibt die Steigung des Graphen.
Wenn der Graph also steig, ist f'(x) positiv und wenn der Graph fällt, ist f'(x) negativ. Wenn der Graph parallel zur x-Achse verläuft bzw. vom Fallen ins Steigen wechselt (oder anders herum), gilt f'(x)=0.

f''(x) beschreibt die Krümmungseigenschaft des Graphen.
Ist der Graph linksgekrümmt, ist f''(x) positiv. Ist der Graph rechtsgekrümmt, ist f''(x) negativ. An den sogenannten Wendepunkten dazwischen gilt f''(x)=0.
Stell dir vor du fährst den Graphen von links nach rechts mit dem Fahrrad ab. Wenn du nach links lenken musst um auf dem Graphen zu bleiben, ist der Graph hier linksgekrümmt und wenn du nach rechts lenken musst , ist der Graph hier rechtsgekrümmt.

Ich bedanke mich recht herzlich für deine Antwort ! Danke !!!:)

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