mathematik quadratische geichung hilfe?

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2 Antworten

Da geht es mal wieder um die Diskriminante. Das ist bei der p,q-Formel der Radikand unter der Wurzel. Die Menge der Lösungen ist davon abhängig.
Steht eine positive Zahl unter der Wurzel, gibt es 2 reelle Lösungen,
kommt 0 heraus, gibt es keine Lösung,
und ist das Ergebnis negativ, gibt es gar keine Lösung.

Hier geht es jetzt um unendlich viele Gleichungen. Und da versuchen wir erst einmal, die Diskrimante D herzustellen.

D = (p/2)² - q                Kennst du sicher.

4x²+4(k+1)x+k²     = 0   | /4        erst muss ich normieren
  x² + (k+1) + k²/4  = 0               p = k + 1           q = k²/4

Daher D = ((k + 1)/2)² - k²/4 
           D =  ((k² + 2k + 1) - k²) / 4
           D =  (2k + 1) / 4

Fallunterscheidung:

1. Fall:    (2k + 1) / 4  >  0  | *4 
                  2k + 1      >  0  | -1
                       2k       > -1  |  /2
                         k       > -1/2 

Also immer wenn   k > -1/2   ist, haben wir 2 Lösungen.

2. Fall:   (2k + 1) / 4 = 0    |  so rechnen wie oben 
                         k     = -1/2

Immer wenn   k = -1/2   ist, haben wir 1 Lösung.  

3. Fall:     (2k + 1) / 4 = 0    |  so rechnen wie oben 
                         k     < -1/2

Immer wenn   k < -1/2   ist, haben wir keine Lösung.

Das sind doch schon mal wichtige Aussage für unendlich viele Gleichungen, die man noch nie gesehen hat.

Nehmen wir k = 1, dann müsste diese 2 Lösungen haben.
Oben einsetzen:

f(x) = 4x² + 8x + 1     Man kann mit a,b,c- oder p,q-Formel leicht ausrechnen,
                                 dass es tatsächlich 2 Lösungen gibt.

Auf dem Zahlenstrahl markierst du  -0,5.
Links davon gibt es keine Lösungen, bei 0,5 genau eine und rechts von 0,5 gibt es 2.

 

4x²+4(k+1)x+k²=0 | /4

x² + (k+1)x + 0,25k² = 0

mit der pq-Formel

x = - (k+1)/2 ± √((k+1)²/ 4 – 0,25k²)

 Ausrechnen des Termes unter der Wurzel:

((k+1)²/ 4 – 0,25k²) = 0,25k²
+ k/2  + 1 – 0,25k² = k/2 +1 = (k + 2)/2

Lösung:

x = - (k+1)/2 ± √((k + 2)/2)

Fallunterscheidung:

für k > - 2 hat die Wurzel und damit auch x zwei Lösungen

für k = - 2 ist die Wurzel Null und x hat nur eine Lösung (x = -(k+1)/2)

für k < - 2 hat die Wurzel keine und damit auch x keine reelle Lösung

Beispiele:

k = 0 >> x = -0,5 ± 1 >> x1 = 0,5 und x2 = -1,5

k = -2 >> x = 0,5  

k = -4 >> x = 1,5 ± √(-1) >> x1 = 1,5 + i und x2 = 1,5 – i, das sind komplexe Zahlen

Auf dem Zahlenstrahl markierst Du den Punkt k = -2 , hier hat x nur eine Lösung

für alle k-Werte links von diesem Punkt existiert für x keine reelle Lösung

für alle k-Werte rechts von diesem Punkt existiert gibt es für x zwei Lösungen




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