Mathematik: PolStelle eines funktionsterms

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5 Antworten

Hallo,

Eine Polstelle kann zum Beispiel bei gebrochen rationalen Funktionen auftreten. Das sind Funktionen, die aus einem Quotienten bestehen, zum Beispiel:

f(x) = 3x/(5x+5)

Die Polstelle ist dort der Wert, den man für x einsetzen muss, sodass im Nenner 0 raus kommt. Dort ist ihr Funktionswert nämlich nicht definiert. Also für unser beispiel ist die Polstelle x = -1.

Eine Asymptote ist eine Gerade, der sich eine Kurve im Verlauf (also bei größer werdender Entfernung vom Ursprung) immer weiter nähert. Asymptoten können Waagerecht oder senkrecht, oder aber auch schief sein.

Asymptoten können bei gebrochen rationalen Funktionen auftreten. Die senkrechte Asymptote verläuft durch die Nullstelle des Nenners, also durch die Polstelle. Also in unserem Fall durch x = -1.

Um die waagerechte Asymptote zu bestimmen, muss man sich den Zählergrad und den Nennergrad ansehen. Davon spricht man, wenn man die höchste Potenz meint. Bei uns wäre der höchste Grad im Zähler 1, im Nenner auch. Ist der Zählergrad kleiner als der Nennergrad, so ist die x-Achse die waagerechte Asymptote. Ist der Zählergrad gleich dem Nennergrad, wie in unserem Fall, so teilt man die Koeffizienten, also die Faktoren vor dem größten Nennergrad, durcheinander. Also bei uns: y = 3/5

Im Anhang siehst du die Beispielfunktion mit ihren Asymptoten.

LG ShD

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Kommentar von DieChemikerin
15.02.2015, 08:35

Vielen Dank für den Stern! :))

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Bei allen bisherigen Antworten ist leider etwas Vorsicht geboten. Bislang klingt das so, als sei eine Nullstelle des Nenners immer eine Polstelle. Das ist aber nicht so. Es gibt Ausnahmen.
Dazu ein ganz simples Beispiel.

f(x) = x² / x
Zugegeben, eine solche Funktion wird man selten vorgelegt bekommen, aber:
Der Nenner nimmt den Wert 0 an für x = 0. Hier hat die Funktion also auf jeden Fall eine Definitionslücke, d.h. für diesen x-Wert ist die Funktion nicht definiert, man kann ihr keinen Wert zuordnen. ID = IR\\\\\\\\{0] = IR*
Andererseits kann man den Funktionsterm kürzen: f(x) = x. Man muss eben nur beachten, dass man 0 nicht einsetzen darf, da dies im Originalterm nicht erlaubt ist.

Der Graph von f entspricht also genau dem Graphen von y = x, nur dass eben bei x=0 kein y-Wert existiert; hier hat der Graph ein Loch. Dieses Loch wäre durch den Punkt (0|0) zu "stopfen"; deshalb spricht man von einer hebbaren Lücke.
"Die Funktion hätte bei x = 0 den Wert 0, wenn man 0 für x einsetzen dürfte."

Komplexeres Beispiel: g(x) = (2x² + 10x - 28) / (x² + 3x - 10)
Dies lässt sich faktorisieren zu: g(x) = [2(x-2)(x+7)] / [(x-2)(x+5)] = [2(x+7)] / [x+5]
Die Funktion hat Def.-Lücken bei x = 2 und x = -5. Da sich der Faktor (x-2) aber herauskürzen lässt, liegt ein Pol nur bei x= -5 vor (mit senkrechter Asymptote). Bei x = 2 haben wir wieder eine hebbare Lücke mit dem Lückenwert y = 18/7 (berechnet mit dem gekürzten Term)
Also hat der Graph in (2 | 18/7) ein Loch.

Vorsicht: Viele Funktionsplotter erkennen solche Lücken nicht und zeichnen den Graphen stumpf durch.

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Polstellen sind Nullstellen der Nenner-Funktion u.a. gebrochen rationaler Funktionen, wobei linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert gegen positiv und/oder unendlich streben. Streben diese Grenzwerte gegen einen einzigen endlichen Wert, spricht man von einer stetig hebbaren Definitionslücke, gibt es zwei (verschiedene) endliche Werte ist es eine hebbare Definitionslücke.

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Schaue fürs Erste am besten, wo ein Nenner 0 werden könnte.

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An einer Polstelle wird der Wert der Funktion unendlich. Wenn der Nenner eines Bruches in einem Funktionsterm 0 ist, wird der Wert des Terms unendlich => Pol. Ebenso ist bei ln x für x=0 ein Pol usw.

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Kommentar von kike3
03.02.2015, 17:18

Achso! Also die pol Stelle ist der Wert den ich für X einsetzen muss damit der komplette Term Null ergibt? Und die asymptoten?

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