Mathematik Parabel Formfaktor

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das liegt an der Scheitelform (quadratischer Ergänzung)

y=a2(x²+a1/a2 x ) +ao und jetzt quadr. ergänzung

y=a2(x + a1/2a2)² .... also S(-a1/2a2 ; ...)

Nun, da schauen wir uns lieber mal die Scheitelpunktform an, denn am Scheitelpunkt kann man die Verschiebung einer Parabel am einfachsten erkennen.

f ( x ) = a2 x ² + a1 x + a0

= a2 ( x ² + ( a1 / a2 ) x + ( a0 / a2 ) )

[Quadratische Ergänzung bestimmen, hinzuaddieren und gleich wieder subtrahieren:]

= a2 ( x ² + ( a1 / a2 ) x + ( a1 / ( 2 a2 ) ) ² - ( a1 / ( 2 a2 ) ) ² + ( a0 / a2 ) )

[Die ersten drei Summanden in der Klammer mit Hilfe der ersten binomischen Formel zusammenfassen:]

= a2 ( ( x + ( a1 / ( 2 a2 ) ) ) ² - ( a1 / ( 2 a2 ) ) ² + ( a0 / a2 ) )

[Nun den Koeffizienten a2 wieder in die Klammer hineinmultiplizieren:]

= a2 ( x + ( a1 / ( 2 a2 ) ) ) ² - a1 ² / ( 4 a2 ) + a0

[und schließlich den Term in die formal korrekte Scheitelpunktform bringen:]

= a2 ( x - ( - a1 / ( 2 a2 ) ) ) ² + a0 - a1 ² / ( 4 a2 )

Der Scheitelpunkt S hat also die Koordinaten: S ( ( - a1 / ( 2 a2 ) ) | a0 - a1 ² / ( 4 a2 ) )

Da der Scheitelpunkt Sn der Normalparabel n ( x ) = x ² die Koordinaten Sn ( 0 | 0 ) hat, ist also die x-Koordinate des Scheitelpunktes der Parabel f ( x ) gegenüber dem Scheitelpunkt der Normalparabel n ( x ) um

-a1 / ( 2 a2 )

in x-Richtung verschoben, liegt also links vom Ursprung, wenn a1 positiv ist, und rechts vom Ursprung, wenn a1 negativ ist.

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