Mathematik Newtonverfahren (näherungsverfahren)

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2 Antworten

Eine Funktion vierten Grades kann bis zu vier Nullstellen haben.

Wenn du eine Nullstelle hast, kannst du diese ausklammern:

Angenommen f(x) ist deine Funktion vierten Grades, ns sei deine Nullstelle. Dann kannst du f(x) schreiben als f(x)=(x-ns)*g(x), wobei g(x) eine Funktion dritten Grades ist. Um g(x) zu bestimmen, wendest du am Besten Polynomdivision an.

badenglish 22.01.2013, 17:38

kannst du mir das anhand eines beispiels erklären

f(x)= x^4+2x^3-2x+1

sagen wir mal die erste nullstelle ist x=2. die haben wir durch den newton verfahren berechnet

so wie geht es jetzt weiter?

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badenglish 22.01.2013, 17:42
@badenglish

muss ich dann mit f(x)= x^3+2x^2-2+1 die weiteren nullstellen berechnen. hier müsste ich die polynomdivision benutzen

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MausSarah 22.01.2013, 17:44
@badenglish

Also 2 ist sicher keine Nullstelle von dieser Funktion. Wenn sie es wäre müsstest du (x^4+2x^3-2x+1) / (x-2) rechnen. Das geht mit Polynomdivision. Für Polynomdivision ein Beispiel zu rechnen ist hier etwas schwierig, da ich nicht genau weiß, wie man hier gescheit einrücken kann.

Aber hier wird das wohl erklärt http://www.polynomdivision.org/

Achso und wenn du dann dein Ergebnis hast, also eine Funktion dritten Grades musst du von der wieder die Nullstellen berechnen, wenn man sie nicht klar sieht, wieder mit Newtonverfahren. Wenn du dann aber nochmal Polynomdivision machst, bleibt nur noch ne Funktion zweiten Grades und du kannst einfach p/q Formel anwenden.

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badenglish 22.01.2013, 17:52
@MausSarah

Also 2 ist sicher keine Nullstelle von dieser Funktion.

ja die nullstelle habe ich mir ausgedacht. danke für deine antwort

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Das Newtonverfahren erzeugt eine selbstkonvergierende Iterationsformel, wenn es reelle Nullstellen gibt!
Wichtig ist der Startwert: wenn man nahe genug an einer reellen Nullstelle liegt, konvergiert man auch in diese Richtung (bei Wiki sieht man ein schönes Beispiel).

Bei Deinem Beispiel gibt es nur komplexe Lösungen!
Es gibt aber auch reelle Nullstellen, die schwer zu erraten sind.
ABER das braucht man auch nicht, denn es gibt bis zum Grad 4 die exakten Cardanischen Formeln siehe www.lamprechts.de/gerd/php/gleichung-6-grades.php

Siehe auch Iterationsrechner, da gibt es zig Beispiele...

hypergerd 22.01.2013, 20:03

Hinweis: momentan Ausfall aller Systeme im hamburger Rechenzentrum!! (LINK wird momentan nicht antworten)

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